Номер 352, страница 71 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

352. Идеальный газ в количестве $v = 4,0$ моль расширяется так, что его давление изменяется прямо пропорционально объему. Определите работу, совершенную силой давления газа при увеличении его температуры на $\Delta T = 10$ К.

Дано:

Количество вещества идеального газа $v = 4,0 \text{ моль}$

Изменение температуры газа $\Delta T = 10 \text{ К}$

Зависимость давления от объема $p \propto V$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Найти:

Работу, совершенную газом $A$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при расширении от объема $V_1$ до $V_2$, вычисляется по формуле:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

Согласно условию задачи, давление газа изменяется прямо пропорционально объему. Это можно записать в виде $p = kV$, где $k$ – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Подставим это соотношение в интеграл для работы:

$A = \int_{V_1}^{V_2} (kV) \, dV = k \int_{V_1}^{V_2} V \, dV$

Вычислим этот интеграл:

$A = k \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{k}{2}(V_2^2 - V_1^2) = \frac{1}{2}(kV_2 \cdot V_2 - kV_1 \cdot V_1)$

Поскольку $p_1 = kV_1$ и $p_2 = kV_2$, то выражение для работы принимает вид:

$A = \frac{1}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$

Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT$

Для начального и конечного состояний газа соответственно имеем:

$p_1V_1 = \nu RT_1$

$p_2V_2 = \nu RT_2$

Подставим эти выражения в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2}(\nu RT_2 - \nu RT_1) = \frac{1}{2}\nu R(T_2 - T_1)$

Так как изменение температуры $T_2 - T_1 = \Delta T$, получаем итоговую формулу для расчета работы:

$A = \frac{1}{2}\nu R \Delta T$

Подставим заданные числовые значения в полученную формулу:

$A = \frac{1}{2} \cdot 4,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 10 \text{ К}$

$A = 2,0 \cdot 8,31 \cdot 10 \text{ Дж} = 166,2 \text{ Дж}$

Ответ:

Работа, совершенная силой давления газа, равна $166,2 \text{ Дж}$.