Номер 347, страница 70 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

347. Зависимость давления идеального газа от объема имеет вид: $p = \alpha V$, где $\alpha = 4,0 \frac{\text{МПа}}{\text{м}^3}$. Определите работу, совершенную силой давления газа, если он расширился от объема $V_1 = 10 \text{ л}$ до объема $V_2 = 110 \text{ л}$.

Дано

$p = \alpha V$
$\alpha = 4,0 \, \frac{\text{МПа}}{\text{м}^3}$
$V_1 = 10 \, \text{л}$
$V_2 = 110 \, \text{л}$

$\alpha = 4,0 \cdot 10^6 \, \frac{\text{Па}}{\text{м}^3}$
$V_1 = 10 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 = 0,01 \, \text{м}^3$
$V_2 = 110 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 = 0,11 \, \text{м}^3$

Найти:

$A$

Решение

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$, в общем случае вычисляется как интеграл от давления по объему:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

В данном процессе давление не является постоянным, а зависит от объема по закону $p = \alpha V$. Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = \int_{V_1}^{V_2} (\alpha V) \, dV$

Поскольку $\alpha$ является константой, мы можем вынести ее за знак интеграла:

$A = \alpha \int_{V_1}^{V_2} V \, dV$

Вычислим определенный интеграл:

$A = \alpha \left. \frac{V^2}{2} \right|_{V_1}^{V_2} = \alpha \left( \frac{V_2^2}{2} - \frac{V_1^2}{2} \right) = \frac{\alpha}{2} (V_2^2 - V_1^2)$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$A = \frac{4,0 \cdot 10^6}{2} ((0,11)^2 - (0,01)^2)$

$A = 2,0 \cdot 10^6 \cdot (0,0121 - 0,0001) = 2,0 \cdot 10^6 \cdot 0,012$

$A = 24000 \, \text{Дж}$

Переведем джоули в килоджоули:

$A = 24 \, \text{кДж}$

Ответ: работа, совершенная силой давления газа, равна 24 кДж.