Номер 350, страница 71 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

350. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, переводят из состояния 1 в состояние 3 (рис. 49). Определите работу, совершенную силой давления газа на участке 1—2, если на участке 2—3 изменение внутренней энергии газа $ \Delta U_{23} = 76 \text{ кДж} $.

Рис. 49

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Процесс 1-2-3

Изменение внутренней энергии на участке 2-3: $ \Delta U_{23} = 76 \text{ кДж} $

Параметры состояний (из графика):

Состояние 1: $ p_1, V_1 $

Состояние 2: $ p_2 = 2p_1, V_2 = 2V_1 $

Состояние 3: $ p_3 = 2p_1, V_3 = 4V_1 $

Перевод в СИ:

$ \Delta U_{23} = 76 \cdot 10^3 \text{ Дж} $

Найти:

Работу газа на участке 1-2: $ A_{12} $

Решение:

Изменение внутренней энергии $ \Delta U $ идеального одноатомного газа можно вычислить по формуле:

$ \Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T $

где $ \nu $ — количество вещества газа, $ R $ — универсальная газовая постоянная, $ \Delta T $ — изменение абсолютной температуры газа.

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $ pV = \nu RT $, формулу для изменения внутренней энергии можно переписать в виде:

$ \Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV) = \frac{3}{2}(p_fV_f - p_iV_i) $

где $ p_i, V_i $ и $ p_f, V_f $ — начальные и конечные давление и объем газа.

Применим эту формулу для участка 2-3. Параметры в точках 2 и 3 известны из графика: $ p_2 = 2p_1, V_2 = 2V_1 $ и $ p_3 = 2p_1, V_3 = 4V_1 $.

$ \Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}((2p_1)(4V_1) - (2p_1)(2V_1)) $

$ \Delta U_{23} = \frac{3}{2}(8p_1V_1 - 4p_1V_1) = \frac{3}{2}(4p_1V_1) = 6p_1V_1 $

По условию задачи $ \Delta U_{23} = 76 \text{ кДж} $. Отсюда мы можем найти произведение $ p_1V_1 $:

$ 6p_1V_1 = 76 \text{ кДж} $

$ p_1V_1 = \frac{76}{6} \text{ кДж} = \frac{38}{3} \text{ кДж} $

Теперь определим работу $ A_{12} $, совершенную газом на участке 1-2. В координатах $ p-V $ работа газа численно равна площади фигуры под графиком процесса. На участке 1-2 эта фигура является трапецией, основаниями которой служат давления $ p_1 $ и $ p_2 $, а высотой — изменение объема $ (V_2 - V_1) $.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$ A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) $

Подставим значения параметров для точек 1 и 2 из графика:

$ A_{12} = \frac{p_1 + 2p_1}{2}(2V_1 - V_1) = \frac{3p_1}{2}(V_1) = \frac{3}{2}p_1V_1 $

Теперь подставим найденное ранее значение произведения $ p_1V_1 $ в выражение для работы:

$ A_{12} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{38}{3} \text{ кДж}\right) = \frac{3 \cdot 38}{2 \cdot 3} \text{ кДж} = \frac{38}{2} \text{ кДж} = 19 \text{ кДж} $

Ответ: $19 \text{ кДж}$.