Номер 355, страница 72 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

355. С идеальным газом, количество вещества которого $\nu = 0,25$ моль, совершают замкнутый циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 51). Точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Определите работу, совершенную силой давления газа за цикл, если абсолютная температура газа в состояниях 1 и 2 соответственно равна $T_1 = 484$ К и $T_2 = 704$ К.

Дано:

ν = 0,25 моль

T₁ = 484 К

T₂ = 704 К

T₂ = T₄

R ≈ 8,31 Дж/(моль∙К)

Найти:

A_цикл - ?

Решение:

Работа, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на каждом участке цикла: $A_{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$.

Процессы 1-2 и 3-4 являются изохорными (объем газа не меняется, $ΔV=0$), поэтому работа на этих участках равна нулю: $A_{12} = 0$ и $A_{34} = 0$.

Процессы 2-3 и 4-1 являются изобарными (давление постоянно). Работа газа на этих участках определяется по формулам:

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2)$

$A_{41} = p_1(V_1 - V_4)$

Так как $V_1 = V_2$ и $V_3 = V_4$, то полная работа за цикл равна:

$A_{цикл} = p_2(V_4 - V_1) + p_1(V_1 - V_4) = p_2(V_4 - V_1) - p_1(V_4 - V_1) = (p_2 - p_1)(V_4 - V_1)$.

Эта работа численно равна площади прямоугольника на pV-диаграмме.

Выразим давления и объемы через температуры, используя уравнение состояния идеального газа $pV = νRT$ и законы для изопроцессов.

Для изохорного процесса 1-2 (V = const) справедливо соотношение $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$, откуда $p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$.

Из уравнения состояния для точек 1 и 4:

$p_1V_1 = νRT_1 \implies V_1 = \frac{νRT_1}{p_1}$

$p_4V_4 = νRT_4$. Учитывая, что $p_4 = p_1$ и по условию $T_4 = T_2$, получаем: $p_1V_4 = νRT_2 \implies V_4 = \frac{νRT_2}{p_1}$.

Подставим полученные выражения для $p_2, V_1, V_4$ в формулу для работы:

$A_{цикл} = (p_1 \frac{T_2}{T_1} - p_1)(\frac{νRT_2}{p_1} - \frac{νRT_1}{p_1}) = p_1(\frac{T_2 - T_1}{T_1}) \cdot \frac{νR(T_2 - T_1)}{p_1}$

Сократив $p_1$, получаем конечную формулу для расчета работы:

$A_{цикл} = \frac{νR(T_2 - T_1)^2}{T_1}$

Произведем вычисления:

$A_{цикл} = \frac{0,25 \cdot 8,31 \cdot (704 - 484)^2}{484} = \frac{0,25 \cdot 8,31 \cdot (220)^2}{484} = \frac{0,25 \cdot 8,31 \cdot 48400}{484} = 0,25 \cdot 8,31 \cdot 100 = 207,75$ Дж.

Ответ: $A_{цикл} = 207,75$ Дж.