Номер 354, страница 72 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

354. Сила давления газовой смеси, состоящей из кислорода массой $m_1 = 1.5$ г и гелия массой $m_2 = 1.0$ г, при изо-барном расширении совершила работу $A = 2.5$ кДж. Определите, во сколько раз увеличился объем газовой смеси, если ее начальная температура $T_1 = 300$ К.

355. С идеальным газом, количество веще

Дано:

$m_1 = 1,5$ г (кислород $O_2$)
$m_2 = 1,0$ г (гелий $He$)
$A = 2,5$ кДж
$T_1 = 300$ К
Процесс изобарный ($p = \text{const}$)

$m_1 = 1,5 \times 10^{-3}$ кг
$m_2 = 1,0 \times 10^{-3}$ кг
$A = 2,5 \times 10^3$ Дж

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Работа, совершаемая газом при изобарном расширении, определяется по формуле:

$A = p(V_2 - V_1)$

где $p$ – постоянное давление, $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы газа.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний газовой смеси:

$pV_1 = \nu R T_1$

$pV_2 = \nu R T_2$

Здесь $\nu$ – общее количество вещества газовой смеси, $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ – универсальная газовая постоянная, $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная температуры.

Преобразуем формулу для работы, используя уравнения состояния:

$A = pV_2 - pV_1 = \nu R T_2 - \nu R T_1 = \nu R (T_2 - T_1)$

Для изобарного процесса справедливо соотношение (закон Гей-Люссака):

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies \frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Отсюда $T_2 = T_1 \frac{V_2}{V_1}$. Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = \nu R (T_1 \frac{V_2}{V_1} - T_1) = \nu R T_1 (\frac{V_2}{V_1} - 1)$

Выразим искомое отношение объемов $\frac{V_2}{V_1}$:

$\frac{V_2}{V_1} - 1 = \frac{A}{\nu R T_1}$

$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{A}{\nu R T_1}$

Найдем общее количество вещества $\nu$ как сумму количеств вещества кислорода ($\nu_1$) и гелия ($\nu_2$):

$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2}$

Молярная масса кислорода ($O_2$) $M_1 = 32 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Молярная масса гелия ($He$) $M_2 = 4 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Вычислим количество вещества каждого газа:

$\nu_1 = \frac{1,5 \times 10^{-3} \text{ кг}}{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = \frac{1,5}{32} \text{ моль} \approx 0,046875 \text{ моль}$

$\nu_2 = \frac{1,0 \times 10^{-3} \text{ кг}}{4 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = \frac{1}{4} \text{ моль} = 0,25 \text{ моль}$

Общее количество вещества:

$\nu = 0,046875 + 0,25 = 0,296875 \text{ моль}$

Теперь подставим все значения в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{2,5 \times 10^3 \text{ Дж}}{0,296875 \text{ моль} \times 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \times 300 \text{ К}} \approx 1 + \frac{2500}{740,16} \approx 1 + 3,378 \approx 4,378$

Округляя до двух значащих цифр, получаем 4,4.

Ответ: Объем газовой смеси увеличился примерно в 4,4 раза.