Номер 364, страница 75 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

364. В алюминиевом калориметре массой $m_1 = 100 \text{ г}$ налита вода массой $m_2 = 460 \text{ г}$ при температуре $t_1 = 20 \text{ °C}$. В воду опустили алюминиевый цилиндр массой $m_3 = 800 \text{ г}$ при температуре $t_3 = 175 \text{ °C}$. Определите температуру, которая установилась в калориметре в результате теплообмена, если потери энергии в окружающую среду составили $\eta = 34 \, \%$.

Дано:
Масса алюминиевого калориметра, $m_1 = 100 \text{ г}$
Масса воды, $m_2 = 460 \text{ г}$
Начальная температура калориметра и воды, $t_1 = 20 \text{ °C}$
Масса алюминиевого цилиндра, $m_3 = 800 \text{ г}$
Начальная температура цилиндра, $t_3 = 175 \text{ °C}$
Потери энергии, $\eta = 34 \%$
Удельная теплоемкость алюминия, $c_{Al} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость воды, $c_{воды} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Переведем единицы измерения в систему СИ:
$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$m_2 = 460 \text{ г} = 0.46 \text{ кг}$
$m_3 = 800 \text{ г} = 0.8 \text{ кг}$
$\eta = 34 \% = 0.34$

Найти:

Конечная температура в калориметре, $t - ?$

Решение:

При опускании горячего алюминиевого цилиндра в калориметр с водой происходит теплообмен. Цилиндр отдает тепло, а вода и калориметр его получают. Часть тепла, отданного цилиндром, теряется в окружающую среду. Запишем уравнение теплового баланса.

Количество теплоты, отданное алюминиевым цилиндром при остывании от температуры $t_3$ до конечной температуры $t$:

$Q_{отд} = c_{Al} m_3 (t_3 - t)$

Количество теплоты, полученное водой и калориметром при нагревании от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $t$:

$Q_{пол} = Q_{воды} + Q_{кал} = c_{воды} m_2 (t - t_1) + c_{Al} m_1 (t - t_1)$

Это выражение можно упростить, вынеся общий множитель $(t - t_1)$ за скобки:

$Q_{пол} = (c_{воды} m_2 + c_{Al} m_1)(t - t_1)$

Согласно условию задачи, потери энергии в окружающую среду составляют $\eta = 34 \%$ от количества теплоты, отданного горячим цилиндром. Следовательно, на нагрев воды и калориметра пошло только $(1 - \eta)$ часть отданной теплоты.

Уравнение теплового баланса с учетом потерь имеет вид:

$Q_{пол} = (1 - \eta) Q_{отд}$

Подставим в него выражения для $Q_{пол}$ и $Q_{отд}$:

$(c_{воды} m_2 + c_{Al} m_1)(t - t_1) = (1 - \eta) c_{Al} m_3 (t_3 - t)$

Выразим из этого уравнения конечную температуру $t$. Для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $t$:

$c_{воды} m_2 t - c_{воды} m_2 t_1 + c_{Al} m_1 t - c_{Al} m_1 t_1 = (1 - \eta)c_{Al} m_3 t_3 - (1 - \eta)c_{Al} m_3 t$

$t(c_{воды} m_2 + c_{Al} m_1 + (1 - \eta)c_{Al} m_3) = (1 - \eta)c_{Al} m_3 t_3 + (c_{воды} m_2 + c_{Al} m_1)t_1$

Отсюда получаем формулу для $t$:

$t = \frac{(1 - \eta) c_{Al} m_3 t_3 + (c_{воды} m_2 + c_{Al} m_1) t_1}{c_{воды} m_2 + c_{Al} m_1 + (1 - \eta) c_{Al} m_3}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{(1 - 0.34) \cdot 920 \cdot 0.8 \cdot 175 + (4200 \cdot 0.46 + 920 \cdot 0.1) \cdot 20}{4200 \cdot 0.46 + 920 \cdot 0.1 + (1 - 0.34) \cdot 920 \cdot 0.8}$

Вычислим значения в числителе и знаменателе:

Числитель: $0.66 \cdot 920 \cdot 0.8 \cdot 175 + (1932 + 92) \cdot 20 = 485.76 \cdot 175 + 2024 \cdot 20 = 85008 + 40480 = 125488$

Знаменатель: $(1932 + 92) + 0.66 \cdot 920 \cdot 0.8 = 2024 + 485.76 = 2509.76$

$t = \frac{125488}{2509.76} = 50 \text{ °C}$

Ответ: температура, установившаяся в калориметре, равна $50 \text{ °C}$.