Номер 365, страница 75 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

365. В алюминиевый калориметр массой $m_1 = 200$ г, содержащий воду массой $m_2 = 0,92$ кг при температуре $t_1 = 10^\circ \text{C}$, погрузили чугунный цилиндр при температуре $t_3 = 50^\circ \text{C}$. В результате теплообмена установилась температура $t = 30^\circ \text{C}$. Определите массу цилиндра, если потери энергии в окружающую среду составили $\eta = 8 \%$.

Дано:
Масса алюминиевого калориметра, $m_1 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
Масса воды, $m_2 = 0.92 \text{ кг}$
Начальная температура калориметра и воды, $t_1 = 10 \text{ °C}$
Начальная температура чугунного цилиндра, $t_3 = 50 \text{ °C}$
Конечная установившаяся температура, $t = 30 \text{ °C}$
Потери энергии в окружающую среду, $\eta = 8 \% = 0.08$
Удельная теплоемкость алюминия, $c_1 = 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость воды, $c_2 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость чугуна, $c_3 = 540 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Найти:
Массу цилиндра, $m_3$.

Решение:

В данной задаче происходит теплообмен между горячим чугунным цилиндром и более холодными телами — водой и алюминиевым калориметром. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячим телом, равно количеству теплоты, полученному холодными телами, с учетом потерь энергии в окружающую среду.

1. Количество теплоты $Q_{получ}$, полученное калориметром и водой при нагревании от температуры $t_1$ до $t$:
$Q_{получ} = Q_1 + Q_2 = c_1 m_1 (t - t_1) + c_2 m_2 (t - t_1) = (c_1 m_1 + c_2 m_2) (t - t_1)$

2. Количество теплоты $Q_{отд}$, отданное чугунным цилиндром при остывании от температуры $t_3$ до $t$:
$Q_{отд} = c_3 m_3 (t_3 - t)$

3. По условию, потери энергии в окружающую среду составляют $\eta = 8\%$ от количества теплоты, отданного цилиндром. Это означает, что на нагрев калориметра и воды пошло только $100\% - 8\% = 92\%$ от $Q_{отд}$. Таким образом, уравнение теплового баланса имеет вид:
$Q_{получ} = Q_{отд} \cdot (1 - \eta)$

Подставим выражения для $Q_{получ}$ и $Q_{отд}$ в уравнение теплового баланса:
$(c_1 m_1 + c_2 m_2) (t - t_1) = c_3 m_3 (t_3 - t) (1 - \eta)$

Выразим из этого уравнения искомую массу цилиндра $m_3$:
$m_3 = \frac{(c_1 m_1 + c_2 m_2) (t - t_1)}{c_3 (t_3 - t) (1 - \eta)}$

Подставим числовые значения и выполним расчеты:
$m_3 = \frac{(920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.2 \text{ кг} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.92 \text{ кг}) \cdot (30 \text{°C} - 10 \text{°C})}{540 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (50 \text{°C} - 30 \text{°C}) \cdot (1 - 0.08)}$
$m_3 = \frac{(184 + 3864) \text{ Дж/°C} \cdot 20 \text{°C}}{540 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 20 \text{°C} \cdot 0.92}$
$m_3 = \frac{4048 \cdot 20}{540 \cdot 20 \cdot 0.92} \text{ кг}$
Сократим 20 в числителе и знаменателе:
$m_3 = \frac{4048}{540 \cdot 0.92} \text{ кг} = \frac{4048}{496.8} \text{ кг} \approx 8.15 \text{ кг}$

Ответ: масса цилиндра составляет приблизительно 8,15 кг.