Номер 366, страница 75 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

366. В воду, имеющую температуру $t_1 = 10 \text{ °C}$, погрузили шарик, нагретый до температуры $t_2 = 100 \text{ °C}$. В результате теплообмена установилась температура $t_0 = 40 \text{ °C}$. Определите, какой станет температура воды, если, не вынимая первого шарика, опустить в нее еще один такой же шарик, нагретый также до температуры $t_2 = 100 \text{ °C}$. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

Начальная температура воды: $t_1 = 10^\circ C$
Начальная температура шарика: $t_2 = 100^\circ C$
Температура равновесия после погружения первого шарика: $t_0 = 40^\circ C$

Найти:

Температуру воды после погружения второго шарика: $t_f$

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. В первом этапе из уравнения теплового баланса для первого шарика и воды найдем соотношение их теплоемкостей. Во втором этапе, используя это соотношение, найдем конечную температуру после погружения второго шарика.

Этап 1: Погружение первого шарика

Пусть $C_в$ — теплоемкость воды, а $C_ш$ — теплоемкость шарика.
Согласно закону сохранения энергии (уравнению теплового баланса), количество теплоты, отданное горячим шариком, равно количеству теплоты, полученному холодной водой. Потерями энергии пренебрегаем.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное шариком при остывании от $t_2$ до $t_0$:

$Q_{отданное} = C_ш (t_2 - t_0)$

Количество теплоты, полученное водой при нагревании от $t_1$ до $t_0$:

$Q_{полученное} = C_в (t_0 - t_1)$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$C_ш (t_2 - t_0) = C_в (t_0 - t_1)$

Подставим известные значения температур:

$C_ш (100 - 40) = C_в (40 - 10)$

$60 \cdot C_ш = 30 \cdot C_в$

Отсюда находим соотношение теплоемкостей:

$\frac{C_в}{C_ш} = \frac{60}{30} = 2$, следовательно, $C_в = 2C_ш$.

Этап 2: Погружение второго шарика

Теперь в систему, состоящую из воды и первого шарика (которые находятся при температуре $t_0 = 40^\circ C$), опускают второй такой же шарик, нагретый до $t_2 = 100^\circ C$. Пусть конечная равновесная температура будет $t_f$.

В этом случае тепло отдает второй горячий шарик, а получают тепло вода и первый, уже остывший, шарик.

Количество теплоты, отданное вторым шариком:

$Q'_{отданное} = C_ш (t_2 - t_f)$

Количество теплоты, полученное водой и первым шариком:

$Q'_{полученное} = (C_в + C_ш)(t_f - t_0)$

Составляем новое уравнение теплового баланса:

$C_ш (t_2 - t_f) = (C_в + C_ш)(t_f - t_0)$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $C_в = 2C_ш$:

$C_ш (t_2 - t_f) = (2C_ш + C_ш)(t_f - t_0)$

$C_ш (t_2 - t_f) = 3C_ш(t_f - t_0)$

Сокращаем на $C_ш$ (теплоемкость шарика не равна нулю):

$t_2 - t_f = 3(t_f - t_0)$

Подставляем числовые значения $t_2$ и $t_0$ и находим $t_f$:

$100 - t_f = 3(t_f - 40)$

$100 - t_f = 3t_f - 120$

$100 + 120 = 3t_f + t_f$

$220 = 4t_f$

$t_f = \frac{220}{4} = 55$

Конечная температура воды (и обоих шариков) станет $55^\circ C$.

Ответ: $55^\circ C$.