Номер 373, страница 76 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

373. На лед массой $m_1 = 3,0 \text{ кг}$, имеющий температуру $t_1 = -10^{\circ}\text{C}$, вылили расплавленное олово при температуре плавления $t_{\text{п}} = 232^{\circ}\text{C}$. В результате теплообмена установилась температура $t_2 = 32^{\circ}\text{C}$. Определите массу олова. Потерями энергии пренебречь.

Дано

Масса льда, $m_1 = 3,0$ кг

Начальная температура льда, $t_1 = -10^\circ\text{С}$

Температура плавления олова (начальная температура олова), $t_п = 232^\circ\text{С}$

Конечная температура смеси, $t_2 = 32^\circ\text{С}$

Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ\text{С}}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda_л = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ\text{С}}$

Удельная теплота кристаллизации олова, $\lambda_о = 5,9 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг}$

Удельная теплоемкость олова, $c_о = 230 \frac{Дж}{кг \cdot ^\circ\text{С}}$

Температура плавления льда, $t_{пл} = 0^\circ\text{С}$

Найти:

Массу олова, $m_2$

Решение

Согласно закону сохранения энергии, в замкнутой системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному менее нагретыми телами. Потерями энергии пренебрегаем, поэтому можем составить уравнение теплового баланса: $Q_{отданное} = Q_{полученное}$.

Олово отдает теплоту в процессе кристаллизации и последующего охлаждения до конечной температуры. Лед получает теплоту при нагревании до температуры плавления, плавлении и последующем нагревании образовавшейся воды до конечной температуры.

1. Количество теплоты, отданное оловом ($Q_{отданное}$):

а) Кристаллизация олова при температуре плавления $t_п$: $Q_1 = \lambda_о \cdot m_2$

б) Охлаждение твердого олова от $t_п$ до $t_2$: $Q_2 = c_о \cdot m_2 \cdot (t_п - t_2)$

Суммарное отданное тепло: $Q_{отданное} = Q_1 + Q_2 = \lambda_о \cdot m_2 + c_о \cdot m_2 \cdot (t_п - t_2) = m_2(\lambda_о + c_о(t_п - t_2))$

2. Количество теплоты, полученное льдом и водой ($Q_{полученное}$):

а) Нагревание льда от $t_1$ до температуры плавления $t_{пл} = 0^\circ\text{С}$: $Q_3 = c_л \cdot m_1 \cdot (t_{пл} - t_1)$

б) Плавление льда при $t_{пл}$: $Q_4 = \lambda_л \cdot m_1$

в) Нагревание образовавшейся воды от $t_{пл}$ до $t_2$: $Q_5 = c_в \cdot m_1 \cdot (t_2 - t_{пл})$

Суммарное полученное тепло: $Q_{полученное} = Q_3 + Q_4 + Q_5 = c_л \cdot m_1 \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_л \cdot m_1 + c_в \cdot m_1 \cdot (t_2 - t_{пл}) = m_1(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda_л + c_в(t_2 - t_{пл}))$

3. Составим уравнение теплового баланса и выразим искомую массу олова $m_2$:

$m_2(\lambda_о + c_о(t_п - t_2)) = m_1(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda_л + c_в(t_2 - t_{пл}))$

$m_2 = \frac{m_1(c_л(t_{пл} - t_1) + \lambda_л + c_в(t_2 - t_{пл}))}{\lambda_о + c_о(t_п - t_2)}$

Подставим числовые значения:

$m_2 = \frac{3,0 \cdot (2100 \cdot (0 - (-10)) + 3,3 \cdot 10^5 + 4200 \cdot (32 - 0))}{5,9 \cdot 10^4 + 230 \cdot (232 - 32)}$

$m_2 = \frac{3,0 \cdot (2100 \cdot 10 + 330000 + 4200 \cdot 32)}{59000 + 230 \cdot 200}$

$m_2 = \frac{3,0 \cdot (21000 + 330000 + 134400)}{59000 + 46000}$

$m_2 = \frac{3,0 \cdot 485400}{105000}$

$m_2 = \frac{1456200}{105000} \approx 13,868$ кг

Округляя результат до двух значащих цифр (как в $m_1 = 3,0$ кг), получаем $m_2 \approx 14$ кг.

Ответ: масса олова составляет примерно 14 кг.