Номер 377, страница 77 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

377. В теплоизолированном медном калориметре массой $m_1 = 0,7$ кг находилась вода при температуре $t_1 = 12$ °С. В калориметр впустили водяной пар массой $m_2 = 50$ г при температуре $t_2 = 100$ °С. Определите начальную массу воды в калориметре, если после установления теплового равновесия температура воды стала $t_3 = 46$ °С.

Дано:

Масса медного калориметра, $m_1 = 0.7$ кг

Начальная температура калориметра и воды, $t_1 = 12$ °C

Масса водяного пара, $m_2 = 50$ г

Температура водяного пара, $t_2 = 100$ °C

Конечная температура равновесия, $t_3 = 46$ °C

Удельная теплоемкость меди, $c_1 = 385 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота парообразования воды, $L = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$

Перевод в СИ:

$m_2 = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Найти:

Начальную массу воды в калориметре, $m_в$

Решение:

Поскольку калориметр теплоизолирован, можно составить уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное горячим телом (водяным паром), равно количеству теплоты, полученному холодными телами (калориметром и водой в нем).

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

1. Количество теплоты, отданное водяным паром, состоит из двух частей: теплоты, выделившейся при конденсации пара ($Q_{конд}$), и теплоты, выделившейся при остывании образовавшейся из пара воды от $t_2$ до $t_3$ ($Q_{охл}$).

$Q_{отданное} = Q_{конд} + Q_{охл}$

$Q_{конд} = L \cdot m_2$

$Q_{охл} = c_в \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_3)$

$Q_{отданное} = L \cdot m_2 + c_в \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_3) = m_2 \cdot (L + c_в \cdot (t_2 - t_3))$

2. Количество теплоты, полученное холодными телами, складывается из теплоты, пошедшей на нагревание калориметра ($Q_{кал}$), и теплоты, пошедшей на нагревание воды в нем ($Q_{в}$).

$Q_{полученное} = Q_{кал} + Q_{в}$

$Q_{кал} = c_1 \cdot m_1 \cdot (t_3 - t_1)$

$Q_{в} = c_в \cdot m_в \cdot (t_3 - t_1)$

$Q_{полученное} = (c_1 \cdot m_1 + c_в \cdot m_в) \cdot (t_3 - t_1)$

3. Составим и решим уравнение теплового баланса:

$m_2 \cdot (L + c_в \cdot (t_2 - t_3)) = (c_1 \cdot m_1 + c_в \cdot m_в) \cdot (t_3 - t_1)$

Выразим из этого уравнения искомую массу воды $m_в$:

$c_1 \cdot m_1 + c_в \cdot m_в = \frac{m_2 \cdot (L + c_в \cdot (t_2 - t_3))}{t_3 - t_1}$

$c_в \cdot m_в = \frac{m_2 \cdot (L + c_в \cdot (t_2 - t_3))}{t_3 - t_1} - c_1 \cdot m_1$

$m_в = \frac{m_2 \cdot (L + c_в \cdot (t_2 - t_3))}{c_в \cdot (t_3 - t_1)} - \frac{c_1 \cdot m_1}{c_в}$

4. Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$m_в = \frac{0.05 \text{ кг} \cdot (2.3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (100 \text{°C} - 46 \text{°C}))}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (46 \text{°C} - 12 \text{°C})} - \frac{385 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.7 \text{ кг}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}}$

$m_в = \frac{0.05 \cdot (2300000 + 4200 \cdot 54)}{4200 \cdot 34} - \frac{269.5}{4200}$

$m_в = \frac{0.05 \cdot (2300000 + 226800)}{142800} - 0.06416...$

$m_в = \frac{0.05 \cdot 2526800}{142800} - 0.06416...$

$m_в = \frac{126340}{142800} - 0.06416...$

$m_в = 0.88473... - 0.06416... \approx 0.82057 \text{ кг}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

$m_в \approx 0.82 \text{ кг}$

Ответ: начальная масса воды в калориметре составляла приблизительно 0.82 кг.