Номер 378, страница 77 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

378. Смесь, состоящую из воды массой $m_1 = 500$ г и льда массой $m_2 = 300$ г, находящуюся при температуре $t_1 = 0^\circ$C, необходимо нагреть до температуры $t_2 = 40^\circ$C, пропуская через нее водяной пар при температуре $t_3 = 100^\circ$C. Определите массу пара. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

$m_{1} = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$m_{2} = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

$t_{1} = 0 \text{ °C}$

$t_{2} = 40 \text{ °C}$

$t_{3} = 100 \text{ °C}$

Справочные данные:

$c_{в} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота плавления льда)

$L = 2.3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота парообразования воды)

Найти:

$m_{пар}$ - ?

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное водяным паром при конденсации и последующем охлаждении, равно количеству теплоты, полученному смесью воды и льда для плавления льда и нагревания всей массы воды. Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное паром, складывается из двух процессов:

1. Конденсация пара массой $m_{пар}$ в воду при температуре $t_3 = 100 \text{ °C}$: $Q_{конд} = L \cdot m_{пар}$

2. Охлаждение образовавшейся из пара воды от $t_3 = 100 \text{ °C}$ до конечной температуры $t_2 = 40 \text{ °C}$: $Q_{охл. пара} = c_{в} \cdot m_{пар} \cdot (t_{3} - t_{2})$

Таким образом, $Q_{отданное} = Q_{конд} + Q_{охл. пара} = m_{пар}(L + c_{в}(t_{3} - t_{2}))$.

Количество теплоты, полученное смесью, также складывается из двух процессов:

1. Плавление льда массой $m_2$ при температуре $t_1 = 0 \text{ °C}$: $Q_{плав} = \lambda \cdot m_{2}$

2. Нагревание всей воды (изначальной и образовавшейся после плавления льда) общей массой $(m_{1} + m_{2})$ от $t_1 = 0 \text{ °C}$ до конечной температуры $t_2 = 40 \text{ °C}$: $Q_{нагр} = c_{в} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot (t_{2} - t_{1})$

Таким образом, $Q_{полученное} = Q_{плав} + Q_{нагр} = \lambda \cdot m_{2} + c_{в} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot (t_{2} - t_{1})$.

Приравняем отданное и полученное количество теплоты:

$m_{пар}(L + c_{в}(t_{3} - t_{2})) = \lambda \cdot m_{2} + c_{в} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot (t_{2} - t_{1})$

Выразим из этого уравнения искомую массу пара $m_{пар}$:

$m_{пар} = \frac{\lambda \cdot m_{2} + c_{в} \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot (t_{2} - t_{1})}{L + c_{в}(t_{3} - t_{2})}$

Подставим числовые значения в СИ:

$m_{пар} = \frac{3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.3 + 4200 \cdot (0.5 + 0.3) \cdot (40 - 0)}{2.3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot (100 - 40)}$

$m_{пар} = \frac{99000 + 4200 \cdot 0.8 \cdot 40}{2300000 + 4200 \cdot 60}$

$m_{пар} = \frac{99000 + 134400}{2300000 + 252000}$

$m_{пар} = \frac{233400}{2552000} \approx 0.09146 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы и округлим результат:

$0.09146 \text{ кг} = 91.46 \text{ г} \approx 91.5 \text{ г}$

Ответ: масса пара составляет примерно 91.5 г.