Номер 602, страница 130 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

602. Два точечных заряда $q_1 = +25q$ и $q_2 = -9q$ расположены на расстоянии $l = 10$ см друг от друга. На каком расстоянии от второго заряда на линии, проходящей через эти заряды, напряженность электростатического поля равна нулю?

Дано:

$q_1 = +25q$

$q_2 = -9q$

$l = 10 \text{ см}$

В системе СИ:
$l = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$x$ — расстояние от второго заряда ($q_2$), на котором напряженность электростатического поля равна нулю.

Решение:

Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $Q$ на расстоянии $r$, по модулю равна:

$E = k \frac{|Q|}{r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности (постоянная Кулона).

По принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность поля в любой точке пространства равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в этой точке: $\vec{E}_{рез} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Чтобы результирующая напряженность была равна нулю, векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Рассмотрим возможные положения точки на прямой, проходящей через заряды.

1. Между зарядами $q_1$ и $q_2$. Вектор $\vec{E}_1$ (от положительного заряда $q_1$) будет направлен от $q_1$ к $q_2$. Вектор $\vec{E}_2$ (к отрицательному заряду $q_2$) будет направлен также в сторону $q_2$. Так как векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.

2. На прямой за зарядом $q_1$ (дальше от $q_2$). В этой области вектор $\vec{E}_1$ направлен от $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ — к $q_2$. Векторы противоположно направлены. Однако, поскольку $|q_1| > |q_2|$, а любая точка в этой области находится ближе к большему по модулю заряду $q_1$, то и напряженность поля $E_1$ всегда будет больше напряженности $E_2$. Равенство модулей $E_1$ и $E_2$ здесь невозможно.

3. На прямой за зарядом $q_2$ (дальше от $q_1$). В этой области вектор $\vec{E}_1$ направлен от $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ — к $q_2$. Векторы направлены в противоположные стороны. В этой области точка находится ближе к меньшему по модулю заряду $q_2$ и дальше от большего по модулю заряда $q_1$. Следовательно, здесь может существовать точка, в которой модули напряженностей будут равны.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $x$ от заряда $q_2$. Тогда расстояние от этой точки до заряда $q_1$ составит $l+x$.

Запишем условие равенства модулей напряженностей:

$E_1 = E_2$

$k \frac{|q_1|}{(l+x)^2} = k \frac{|q_2|}{x^2}$

Подставим значения модулей зарядов:

$\frac{25q}{(l+x)^2} = \frac{9q}{x^2}$

Сократим на $kq$ (считая $q \ne 0$):

$\frac{25}{(l+x)^2} = \frac{9}{x^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{5}{l+x} = \frac{3}{x}$

(Мы выбираем положительные значения корней, так как $x$ и $l+x$ представляют собой расстояния и должны быть положительными).

Решим полученное уравнение:

$5x = 3(l+x)$

$5x = 3l + 3x$

$2x = 3l$

$x = \frac{3}{2}l$

Подставим значение $l = 10 \text{ см}$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 10 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.