Номер 603, страница 130 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

603. Электростатическое поле создано двумя положительными точечными зарядами $q_1 = 9,0 \text{ нКл}$ и $q_2 = 4,0 \text{ нКл}$. Определите расстояние между этими зарядами, если известно, что точка, в которой напряженность поля равна нулю, находится на расстоянии $r = 33 \text{ см}$ от первого заряда.

Дано:

$q_1 = 9,0 \text{ нКл}$

$q_2 = 4,0 \text{ нКл}$

$r_1 = 33 \text{ см}$ (расстояние от первого заряда до точки с нулевой напряженностью)

Перевод в систему СИ:
$q_1 = 9,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = 4,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$r_1 = 0,33 \text{ м}$

Найти:

$L$ - расстояние между зарядами.

Решение:

Напряженность электростатического поля в любой точке пространства определяется принципом суперпозиции, согласно которому результирующая напряженность $\vec{E}$ равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

По условию, в некоторой точке напряженность поля равна нулю, то есть $\vec{E} = 0$. Это означает, что $\vec{E_1} = -\vec{E_2}$. Векторы напряженностей полей от зарядов $q_1$ и $q_2$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Поскольку оба заряда $q_1$ и $q_2$ положительные, векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены от зарядов. Условие противоположности направлений векторов может выполняться только для точки, расположенной на прямой, соединяющей заряды, и находящейся между ними.

Пусть $L$ - искомое расстояние между зарядами. По условию, точка с нулевой напряженностью находится на расстоянии $r_1 = 33 \text{ см}$ от первого заряда $q_1$. Обозначим расстояние от этой точки до второго заряда $q_2$ как $r_2$. Тогда полное расстояние между зарядами будет $L = r_1 + r_2$.

В этой точке модули напряженностей полей, создаваемых зарядами, равны:

$E_1 = E_2$

Модуль напряженности поля точечного заряда вычисляется по формуле $E = k \frac{|q|}{d^2}$, где $k$ - электрическая постоянная, $q$ - величина заряда, а $d$ - расстояние до заряда. Подставим это выражение в наше равенство:

$k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2}$

Сократив $k$, получим:

$\frac{q_1}{r_1^2} = \frac{q_2}{r_2^2}$

Выразим отсюда $r_2$:

$r_2^2 = r_1^2 \cdot \frac{q_2}{q_1}$

$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$

Подставим числовые значения:

$r_2 = 33 \text{ см} \cdot \sqrt{\frac{4,0 \text{ нКл}}{9,0 \text{ нКл}}} = 33 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = 33 \cdot \frac{2}{3} = 22 \text{ см}$

Теперь можем найти полное расстояние $L$ между зарядами:

$L = r_1 + r_2 = 33 \text{ см} + 22 \text{ см} = 55 \text{ см}$

Ответ: расстояние между зарядами равно 55 см.