Номер 601, страница 130 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

601. Два разноименных заряда $q_1$ и $q_2$ (рис. 107), модули которых равны, создают электростатическое поле. В какой точке — 1, 2 или 3 — на пробный заряд действует наибольшая сила?

Рис. 107

Решение

Сила $\vec{F}$, действующая на пробный заряд $q_0$, помещенный в электростатическое поле, пропорциональна напряженности поля $\vec{E}$ в данной точке: $\vec{F} = q_0\vec{E}$. Модуль силы равен $F = |q_0|E$. Следовательно, чтобы найти точку, в которой действует наибольшая сила, необходимо найти точку с наибольшим модулем напряженности результирующего электрического поля. Результирующее поле находится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E}_{рез} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$. Аналогично для сил: $\vec{F}_{рез} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$.

Для удобства расчетов примем сторону одной клетки на рисунке за условную единицу длины $a$. Модули зарядов по условию равны: $|q_1| = |q_2| = q$. Будем считать, что пробный заряд $q_0$ — положительный (знак пробного заряда не влияет на величину силы, только на ее направление). Сила, действующая на заряд $q_0$ со стороны точечного заряда $q$ на расстоянии $r$, определяется законом Кулона: $F = k \frac{|q q_0|}{r^2}$.

Рассмотрим силы, действующие на пробный заряд в каждой из трех точек.

В точке 1
Эта точка находится на расстоянии $r_{1} = a$ от положительного заряда $q_1$ и на расстоянии $r_{2} = 5a$ от отрицательного заряда $q_2$.
Сила $\vec{F}_1$ (отталкивание от $q_1$) направлена влево. Ее модуль равен $F_1 = k \frac{q q_0}{a^2}$.
Сила $\vec{F}_2$ (притяжение к $q_2$) направлена вправо. Ее модуль равен $F_2 = k \frac{q q_0}{(5a)^2} = k \frac{q q_0}{25a^2}$.
Так как векторы сил направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, модуль результирующей силы равен разности их модулей:
$F_{рез,1} = F_1 - F_2 = k \frac{q q_0}{a^2} - k \frac{q q_0}{25a^2} = k \frac{q q_0}{a^2} \left(1 - \frac{1}{25}\right) = \frac{24}{25} k \frac{q q_0}{a^2} = 0.96 \cdot k \frac{q q_0}{a^2}$.

В точке 3
Эта точка находится посередине между зарядами, на расстоянии $r_{1} = 2a$ от $q_1$ и $r_{2} = 2a$ от $q_2$.
Сила $\vec{F}_1$ (отталкивание от $q_1$) направлена вправо. Ее модуль равен $F_1 = k \frac{q q_0}{(2a)^2} = k \frac{q q_0}{4a^2}$.
Сила $\vec{F}_2$ (притяжение к $q_2$) также направлена вправо. Ее модуль равен $F_2 = k \frac{q q_0}{(2a)^2} = k \frac{q q_0}{4a^2}$.
Так как векторы сил направлены в одну сторону, модуль результирующей силы равен сумме их модулей:
$F_{рез,3} = F_1 + F_2 = k \frac{q q_0}{4a^2} + k \frac{q q_0}{4a^2} = 2 k \frac{q q_0}{4a^2} = \frac{1}{2} k \frac{q q_0}{a^2} = 0.5 \cdot k \frac{q q_0}{a^2}$.

В точке 2
Эта точка равноудалена от обоих зарядов. Расстояние до каждого заряда найдем по теореме Пифагора: $r = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.
Модули сил $\vec{F}_1$ (отталкивание от $q_1$) и $\vec{F}_2$ (притяжение к $q_2$) равны: $F_1 = F_2 = k \frac{q q_0}{(a\sqrt{5})^2} = k \frac{q q_0}{5a^2}$.
Вектор $\vec{F}_1$ направлен по диагонали вверх и вправо, а вектор $\vec{F}_2$ — по диагонали вниз и вправо. При векторном сложении их вертикальные составляющие взаимно компенсируются, а горизонтальные складываются. Горизонтальная составляющая каждой силы равна $F_x = F \cdot \cos\alpha$, где $\cos\alpha = \frac{2a}{r} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Модуль результирующей силы равен:
$F_{рез,2} = F_{1x} + F_{2x} = 2 \cdot F_1 \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \left(k \frac{q q_0}{5a^2}\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} k \frac{q q_0}{a^2} \approx 0.358 \cdot k \frac{q q_0}{a^2}$.

Сравним величины сил в трех точках, обозначив постоянный множитель $C = k \frac{q q_0}{a^2}$:
$F_{рез,1} = 0.96 \cdot C$
$F_{рез,3} = 0.5 \cdot C$
$F_{рез,2} \approx 0.358 \cdot C$
Наибольшее значение имеет сила в точке 1.

Ответ: Наибольшая сила действует на пробный заряд в точке 1.