Номер 714, страница 157 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

714. При заполнении пространства между пластинами воздушного конденсатора диэлектриком напряжение на конденсаторе уменьшилось от $U_1 = 400$ В до $U_2 = 50$ В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика, если заряд на конденсаторе оставался постоянным?

Дано:

Начальное напряжение на воздушном конденсаторе, $U_1 = 400 \text{ В}$

Конечное напряжение на конденсаторе с диэлектриком, $U_2 = 50 \text{ В}$

Заряд на конденсаторе, $q = \text{const}$

Найти:

Диэлектрическую проницаемость диэлектрика, $\epsilon$

Решение:

Заряд $q$ на конденсаторе связан с его емкостью $C$ и напряжением $U$ между обкладками соотношением:

$q = C \cdot U$

В начальном состоянии, когда конденсатор был воздушным, его емкость была $C_1$, а напряжение $U_1$. Заряд на нем был:

$q = C_1 \cdot U_1$

После того как пространство между пластинами заполнили диэлектриком, емкость конденсатора изменилась и стала $C_2$, а напряжение уменьшилось до $U_2$. Заряд при этом, по условию, не изменился:

$q = C_2 \cdot U_2$

Так как заряд остался постоянным, мы можем приравнять правые части двух выражений:

$C_1 \cdot U_1 = C_2 \cdot U_2$

Емкость плоского конденсатора $C$ зависит от диэлектрической проницаемости $\epsilon$ вещества между пластинами. При заполнении пространства диэлектриком емкость конденсатора увеличивается в $\epsilon$ раз по сравнению с емкостью воздушного конденсатора (для которого $\epsilon_{воздуха} \approx 1$). Таким образом, можно записать:

$C_2 = \epsilon \cdot C_1$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$C_1 \cdot U_1 = (\epsilon \cdot C_1) \cdot U_2$

Сократим $C_1$ (так как емкость не равна нулю) в обеих частях равенства:

$U_1 = \epsilon \cdot U_2$

Отсюда выразим искомую диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{U_1}{U_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\epsilon = \frac{400 \text{ В}}{50 \text{ В}} = 8$

Ответ: диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 8.