Номер 721, страница 158 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

721. Определите первоначальное расстояние между обкладками плоского воздушного конденсатора, если после увеличения расстояния между ними на $\Delta d = 2 \text{ мм}$ и заполнения этого пространства слюдой электроемкость конденсатора увеличилась в $\alpha = 2$ раза.

Дано:

Увеличение расстояния между обкладками, $\Delta d = 2$ мм

Отношение конечной и начальной емкостей, $\alpha = \frac{C_2}{C_1} = 2$

Диэлектрическая проницаемость воздуха (начальная среда), $\epsilon_1 \approx 1$

Диэлектрическая проницаемость слюды (конечная среда), $\epsilon_2 = 6$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$\Delta d = 2 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Первоначальное расстояние между обкладками, $d_1$ - ?

Решение:

Электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды между обкладками, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, $S$ - площадь обкладок, $d$ - расстояние между обкладками.

Запишем формулу для первоначальной емкости конденсатора. В начальном состоянии диэлектриком является воздух ($\epsilon_1 \approx 1$), а расстояние между обкладками равно $d_1$.

$C_1 = \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d_1} = \frac{\epsilon_0 S}{d_1}$

После изменения расстояние между обкладками стало $d_2 = d_1 + \Delta d$. Пространство заполнили слюдой с диэлектрической проницаемостью $\epsilon_2$. В качестве справочного значения для диэлектрической проницаемости слюды примем $\epsilon_2 = 6$.

Новая электроемкость конденсатора $C_2$ будет равна:

$C_2 = \frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d_2} = \frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d_1 + \Delta d}$

По условию задачи, электроемкость увеличилась в $\alpha$ раз, то есть $C_2 = \alpha C_1$.

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это соотношение:

$\frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d_1 + \Delta d} = \alpha \frac{\epsilon_0 S}{d_1}$

Сократим одинаковые множители $\epsilon_0 S$ в обеих частях уравнения:

$\frac{\epsilon_2}{d_1 + \Delta d} = \frac{\alpha}{d_1}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую величину $d_1$. Используем свойство пропорции (умножим обе части на $d_1 \cdot (d_1 + \Delta d)$):

$\epsilon_2 d_1 = \alpha (d_1 + \Delta d)$

Раскроем скобки в правой части:

$\epsilon_2 d_1 = \alpha d_1 + \alpha \Delta d$

Перенесем слагаемые, содержащие $d_1$, в левую часть:

$\epsilon_2 d_1 - \alpha d_1 = \alpha \Delta d$

Вынесем $d_1$ за скобки:

$d_1 (\epsilon_2 - \alpha) = \alpha \Delta d$

Отсюда находим искомую величину $d_1$:

$d_1 = \frac{\alpha \Delta d}{\epsilon_2 - \alpha}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$d_1 = \frac{2 \cdot 2 \text{ мм}}{6 - 2} = \frac{4 \text{ мм}}{4} = 1 \text{ мм}$

Ответ: первоначальное расстояние между обкладками конденсатора было равно 1 мм.