Номер 726, страница 159 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

726. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d_1 = 2,5$ мм, заряжен до напряжения $U_1 = 50$ В. Определите, каким станет напряжение, если, не изменяя заряда конденсатора, расстояние между пластинами увеличить до $d_2 = 4,8$ мм, а пространство между ними полностью заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 3,0$.

Дано:

$d_1 = 2,5 \text{ мм} = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$U_1 = 50 \text{ В}$

$d_2 = 4,8 \text{ мм} = 4,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\epsilon = 3,0$

$q = \text{const}$

Найти:

$U_2$

Решение:

Емкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между пластинами.

В начальном состоянии конденсатор был воздушным, поэтому его диэлектрическая проницаемость $\epsilon_1 = 1$. Его емкость $C_1$ равна:

$C_1 = \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d_1} = \frac{\epsilon_0 S}{d_1}$

Заряд на конденсаторе $q$ связан с емкостью $C$ и напряжением $U$ соотношением $q = C \cdot U$. В начальном состоянии заряд был:

$q_1 = C_1 U_1 = \frac{\epsilon_0 S U_1}{d_1}$

В конечном состоянии расстояние между пластинами стало $d_2$, а пространство заполнено диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$. Новая емкость $C_2$ равна:

$C_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d_2}$

По условию задачи, заряд конденсатора не изменялся, то есть $q_2 = q_1 = q$. Новый заряд $q_2$ можно выразить через новое напряжение $U_2$:

$q_2 = C_2 U_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S U_2}{d_2}$

Приравнивая выражения для зарядов $q_1$ и $q_2$, получаем:

$\frac{\epsilon_0 S U_1}{d_1} = \frac{\epsilon \epsilon_0 S U_2}{d_2}$

Сокращаем в обеих частях уравнения общие множители $\epsilon_0$ и $S$:

$\frac{U_1}{d_1} = \frac{\epsilon U_2}{d_2}$

Выразим отсюда искомое напряжение $U_2$:

$U_2 = U_1 \frac{d_2}{\epsilon d_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$U_2 = 50 \text{ В} \cdot \frac{4,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{3,0 \cdot 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 50 \cdot \frac{4,8}{7,5} = 50 \cdot 0,64 = 32 \text{ В}$

Ответ: новое напряжение станет равным $32 \text{ В}$.