Номер 727, страница 159 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

727. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом $R = 10$ см, расположенных на расстоянии $d = 2$ мм друг от друга. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U = 20$ В. Пространство между пластинами полностью заполнили жидким диэлектриком. При этом по проводам, соединяющим обкладки конденсатора и источник тока, прошел заряд $\left|\Delta q\right| = 4,0$ нКл. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.

Дано:

Радиус пластин $R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Расстояние между пластинами $d = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Напряжение источника $U = 20 \text{ В}$

Прошедший заряд $|\Delta q| = 4.0 \text{ нКл} = 4.0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Диэлектрическую проницаемость диэлектрика $\epsilon$.

Решение:

Начальная емкость воздушного конденсатора (диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon_1 \approx 1$) определяется по формуле для плоского конденсатора:

$C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

где $S$ - площадь круглых пластин, которая вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Таким образом, начальная емкость равна:

$C_1 = \frac{\epsilon_0 \pi R^2}{d}$

Начальный заряд на обкладках конденсатора, подключенного к источнику с напряжением $U$, равен:

$q_1 = C_1 U = \frac{\epsilon_0 \pi R^2 U}{d}$

После того как пространство между пластинами заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, емкость конденсатора изменилась и стала равной:

$C_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} = \frac{\epsilon \epsilon_0 \pi R^2}{d}$

Так как конденсатор остался подключенным к источнику, напряжение на его обкладках не изменилось и осталось равным $U$. Конечный заряд на обкладках стал:

$q_2 = C_2 U = \frac{\epsilon \epsilon_0 \pi R^2 U}{d}$

При заполнении конденсатора диэлектриком его емкость увеличивается (так как $\epsilon > 1$), поэтому источник дополнительно заряжает конденсатор. Заряд $|\Delta q|$, который прошел по проводам, равен разности между конечным и начальным зарядами на пластинах конденсатора:

$\Delta q = q_2 - q_1 = C_2 U - C_1 U = (C_2 - C_1)U$

Подставим выражения для емкостей $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:

$\Delta q = \left(\frac{\epsilon \epsilon_0 \pi R^2}{d} - \frac{\epsilon_0 \pi R^2}{d}\right)U = \frac{\epsilon_0 \pi R^2}{d}(\epsilon - 1)U$

Теперь выразим из полученной формулы искомую диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$\epsilon - 1 = \frac{\Delta q \cdot d}{\epsilon_0 \pi R^2 U}$

$\epsilon = 1 + \frac{\Delta q \cdot d}{\epsilon_0 \pi R^2 U}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$\epsilon = 1 + \frac{4.0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 3.1416 \cdot (0.1 \text{ м})^2 \cdot 20 \text{ В}}$

$\epsilon = 1 + \frac{8 \cdot 10^{-12}}{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3.1416 \cdot 0.01 \cdot 20} \approx 1 + \frac{8 \cdot 10^{-12}}{5.56 \cdot 10^{-12}} \approx 1 + 1.44$

$\epsilon \approx 2.44$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$\epsilon \approx 2.4$

Ответ: диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна примерно 2.4.