Номер 731, страница 160 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

731. Частица с положительным зарядом $q$ разгоняется до кинетической энергии $E_K$ и влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно обкладкам на равном расстоянии от них. Емкость конденсатора $C$, его заряд $Q$, расстояние между обкладками $d$. Какой должна быть максимальная длина обкладки конденсатора, чтобы частица не коснулась ее поверхности? Силой тяжести, действующей на частицу, пренебречь.

Дано:

Заряд частицы: $q$

Кинетическая энергия частицы: $E_к$

Емкость конденсатора: $C$

Заряд конденсатора: $Q$

Расстояние между обкладками: $d$

Найти:

Максимальная длина обкладки конденсатора: $L_{max}$

Решение:

Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле конденсатора можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного движения вдоль пластин (по оси X) и равноускоренного движения перпендикулярно пластинам (по оси Y).

1. Начальная скорость частицы $v_x$ направлена параллельно пластинам. Её можно найти из формулы кинетической энергии:

$E_к = \frac{mv_x^2}{2}$

Отсюда получаем выражение для произведения массы на квадрат скорости, которое понадобится в дальнейшем:

$mv_x^2 = 2E_к$

где $m$ - масса частицы.

2. Напряженность электрического поля $E$ в плоском конденсаторе однородна и равна:

$E = \frac{U}{d}$

где $U$ - напряжение между обкладками. Напряжение связано с зарядом $Q$ и емкостью $C$ конденсатора соотношением $Q = CU$, из которого $U = \frac{Q}{C}$.

Подставив $U$ в формулу для напряженности, получим:

$E = \frac{Q}{Cd}$

3. В электрическом поле на частицу с зарядом $q$ действует сила $F_y$, направленная перпендикулярно пластинам:

$F_y = qE = \frac{qQ}{Cd}$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает частице ускорение $a_y$:

$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{qQ}{mCd}$

4. Частица влетает в конденсатор ровно посередине между обкладками. Чтобы частица не коснулась пластины, ее поперечное смещение $y$ за время пролета $t$ через конденсатор не должно превышать половины расстояния между пластинами, то есть $d/2$. Максимальная длина пластин $L_{max}$ соответствует предельному случаю, когда частица на вылете из конденсатора как раз достигает одной из пластин. В этом случае ее поперечное смещение будет равно $d/2$.

Время полета $t$ частицы внутри конденсатора длиной $L_{max}$ определяется ее горизонтальной скоростью:

$t = \frac{L_{max}}{v_x}$

За это время частица смещается по вертикали на расстояние $y$. Так как начальная вертикальная скорость равна нулю, смещение равно:

$y = \frac{a_y t^2}{2}$

Приравнивая $y$ к $d/2$, получаем:

$\frac{d}{2} = \frac{a_y t^2}{2}$

$d = a_y t^2$

5. Подставим в это уравнение выражения для $a_y$ и $t$:

$d = \left( \frac{qQ}{mCd} \right) \left( \frac{L_{max}}{v_x} \right)^2 = \frac{qQ L_{max}^2}{mCd v_x^2}$

6. Теперь подставим ранее найденное выражение $mv_x^2 = 2E_к$:

$d = \frac{qQ L_{max}^2}{Cd (2E_к)}$

7. Осталось выразить искомую величину $L_{max}$:

$L_{max}^2 = \frac{d \cdot Cd \cdot 2E_к}{qQ} = \frac{2Cd^2 E_к}{qQ}$

$L_{max} = \sqrt{\frac{2Cd^2 E_к}{qQ}} = d \sqrt{\frac{2CE_к}{qQ}}$

Ответ: $L_{max} = d \sqrt{\frac{2CE_к}{qQ}}$