Номер 732, страница 160 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

732. Электрон влетает в плоский конденсатор через очень малое отверстие в положительно заряженной пластине перпендикулярно ей. Модуль скорости движения электрона при влете в конденсатор $v_0 = 1,0 \cdot 10^6 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. Емкость конденсатора $C = 3,2 \text{ мкФ}$. Какой наименьший заряд должен быть на пластинах конденсатора, чтобы электрон вылетел обратно из конденсатора? Силой тяжести, действующей на электрон, пренебречь.

Дано:

$v_0 = 1,0 \cdot 10^6$ м/с
$C = 3,2$ мкФ $= 3,2 \cdot 10^{-6}$ Ф
$m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг (масса электрона)
$e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл (модуль заряда электрона)

Найти:

$q_{min}$

Решение:

Электрон имеет отрицательный заряд и влетает в конденсатор через положительно заряженную пластину. Электрическое поле внутри конденсатора направлено от положительной пластины к отрицательной. Следовательно, на электрон действует тормозящая электрическая сила, направленная против его начальной скорости.

Для того чтобы электрон вылетел обратно, он должен остановиться, не достигнув второй (отрицательной) пластины. Наименьший заряд на пластинах конденсатора соответствует предельному случаю, когда скорость электрона становится равной нулю в непосредственной близости от отрицательной пластины. В этом случае, согласно закону сохранения энергии, вся начальная кинетическая энергия электрона преобразуется в работу против сил электрического поля.

Запишем теорему о кинетической энергии. Работа $A$ электрического поля равна изменению кинетической энергии $\Delta K$ электрона:

$A = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная}$

Начальная кинетическая энергия электрона $K_{начальная}$ определяется его массой $m_e$ и начальной скоростью $v_0$:

$K_{начальная} = \frac{m_e v_0^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия $K_{конечная}$ в момент остановки равна нулю, так как конечная скорость равна нулю.

$K_{конечная} = 0$

Работа $A$ электрического поля при перемещении электрона между пластинами с разностью потенциалов (напряжением) $U$ равна:

$A = -eU$

Знак минус обусловлен тем, что сила, действующая на электрон, направлена против его движения, то есть поле совершает отрицательную работу.

Приравняем работу и изменение кинетической энергии:

$-eU = 0 - \frac{m_e v_0^2}{2}$

Отсюда следует, что $eU = \frac{m_e v_0^2}{2}$.

Из этого соотношения мы можем выразить минимальное напряжение $U$ на обкладках конденсатора, необходимое для остановки электрона:

$U = \frac{m_e v_0^2}{2e}$

Заряд $q$ на пластинах конденсатора связан с его емкостью $C$ и напряжением $U$ формулой:

$q = C \cdot U$

Подставим выражение для напряжения $U$ в формулу для заряда, чтобы найти искомый наименьший заряд $q_{min}$:

$q_{min} = C \cdot \frac{m_e v_0^2}{2e}$

Подставим числовые значения из условия задачи и справочные данные:

$q_{min} = 3,2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (1,0 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}$

$q_{min} = 3,2 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,0 \cdot 10^{12}}{3,2 \cdot 10^{-19}}$

$q_{min} = 3,2 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{9,1 \cdot 10^{-19}}{3,2 \cdot 10^{-19}}$

$q_{min} = 9,1 \cdot 10^{-6}$ Кл

Это значение можно также выразить в микрокулонах: $1 \text{ мкКл} = 10^{-6}$ Кл.

$q_{min} = 9,1$ мкКл

Ответ:

Наименьший заряд, который должен быть на пластинах конденсатора, равен $9,1 \cdot 10^{-6}$ Кл (или 9,1 мкКл).