Номер 733, страница 160 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

733. В плоский воздушный конденсатор емкостью $C$ и длиной пластин $l$ влетает протон под углом $\alpha$ к пластинам. Кинетическая энергия протона равна $E_k$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$. Определите заряд на обкладках конденсатора, при котором протон вылетит из конденсатора параллельно пластинам. Силой тяжести, действующей на протон, пренебречь.

Дано:

Емкость конденсатора: $C$

Длина пластин: $l$

Угол влета протона к пластинам: $\alpha$

Кинетическая энергия протона: $E_к$

Расстояние между пластинами: $d$

Частица - протон (заряд $e$, масса $m_p$)

Найти:

Заряд на обкладках конденсатора: $q$

Решение:

Движение протона внутри конденсатора можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения вдоль пластин (ось Ox) и равноускоренного движения перпендикулярно пластинам (ось Oy), так как силой тяжести пренебрегаем.

Начальная скорость протона $v_0$ связана с его кинетической энергией $E_к$ формулой:

$E_к = \frac{m_p v_0^2}{2}$

Отсюда можно выразить произведение массы на квадрат скорости:

$m_p v_0^2 = 2E_к$

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ — проекция скорости на ось Ox, параллельную пластинам.
$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ — проекция скорости на ось Oy, перпендикулярную пластинам.

Вдоль оси Ox на протон не действуют силы, поэтому его скорость $v_x$ в этом направлении постоянна. Время $t$, за которое протон пролетает всю длину конденсатора $l$, равно:

$t = \frac{l}{v_x} = \frac{l}{v_0 \cos\alpha}$

Вдоль оси Oy на протон действует электрическая сила $F_y = eE$, где $E$ — напряженность однородного электрического поля внутри конденсатора. Эта сила создает ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m_p} = \frac{eE}{m_p}$

По условию, протон вылетает из конденсатора параллельно пластинам. Это означает, что его вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент вылета $(t)$ становится равной нулю. Электрическое поле должно быть направлено так, чтобы противодействовать начальной вертикальной скорости. Тогда для $v_y$ в любой момент времени $t$ справедливо:

$v_y(t) = v_{0y} - a_y t = v_0 \sin\alpha - \frac{eE}{m_p} t$

При $t$ равном времени пролета, $v_y(t) = 0$, следовательно:

$v_0 \sin\alpha - \frac{eE}{m_p} t = 0 \implies v_0 \sin\alpha = \frac{eE}{m_p} t$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для времени $t$:

$v_0 \sin\alpha = \frac{eE}{m_p} \cdot \frac{l}{v_0 \cos\alpha}$

Перегруппируем члены, чтобы выразить напряженность поля $E$:

$E = \frac{m_p v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Напряженность электрического поля $E$ в плоском конденсаторе связана с зарядом $q$ на его обкладках, емкостью $C$ и расстоянием $d$ между ними. Напряжение на конденсаторе $U = q/C$, а напряженность поля $E = U/d$. Объединив эти формулы, получаем:

$E = \frac{q}{Cd}$

Теперь приравняем два полученных выражения для напряженности $E$:

$\frac{q}{Cd} = \frac{m_p v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Из этого равенства выразим искомый заряд $q$:

$q = \frac{Cd \cdot m_p v_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Заменим $m_p v_0^2$ на $2E_к$:

$q = \frac{Cd \cdot 2E_к \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическим тождеством двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$q = \frac{CdE_к \sin(2\alpha)}{el}$

Ответ: $q = \frac{CdE_к \sin(2\alpha)}{el}$