Номер 741, страница 162 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

741. Энергия электростатического поля плоского конденсатора $W = 885$ нДж, а модуль его напряженности $E = 12,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.

Диэлектрическая проницаемость однородного диэлектрика, заполняющего конденсатор, $\varepsilon = 4,0$. Определите площадь каждой пластины конденсатора, если расстояние между ними $d = 5,0$ мм.

Дано:

$W = 885 \text{ нДж}$

$E = 12,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$

$\epsilon = 4,0$

$d = 5,0 \text{ мм}$

$\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}}$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$W = 885 \cdot 10^{-9} \text{ Дж}$

$E = 12,5 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$d = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$S$ - площадь каждой пластины конденсатора.

Решение:

Энергия $W$ электростатического поля конденсатора связана с объемной плотностью энергии $w_e$ и объемом $V$ пространства между пластинами соотношением $W = w_e \cdot V$.

Объемная плотность энергии однородного электростатического поля в диэлектрике определяется по формуле:

$w_e = \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2}{2}$

где $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $E$ - модуль напряженности электрического поля.

Объем пространства между пластинами плоского конденсатора, имеющего площадь пластин $S$ и расстояние между ними $d$, равен:

$V = S \cdot d$

Объединяя эти формулы, получаем выражение для полной энергии поля в конденсаторе:

$W = \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2}{2} \cdot S \cdot d$

Из этого выражения можно выразить искомую площадь пластины $S$:

$S = \frac{2W}{\epsilon_0 \epsilon E^2 d}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$S = \frac{2 \cdot 885 \cdot 10^{-9}}{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 4,0 \cdot (12,5 \cdot 10^3)^2 \cdot 5,0 \cdot 10^{-3}}$

Проведем вычисления. Заметим, что $885 = 100 \cdot 8,85$:

$S = \frac{2 \cdot (100 \cdot 8,85) \cdot 10^{-9}}{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 4,0 \cdot 156,25 \cdot 10^6 \cdot 5,0 \cdot 10^{-3}}$

Сократим $8,85$ в числителе и знаменателе:

$S = \frac{2 \cdot 100 \cdot 10^{-9}}{10^{-12} \cdot 4,0 \cdot 156,25 \cdot 10^6 \cdot 5,0 \cdot 10^{-3}}$

Выполним умножение в знаменателе и сгруппируем степени десяти:

$S = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{(4,0 \cdot 156,25 \cdot 5,0) \cdot (10^{-12} \cdot 10^6 \cdot 10^{-3})} = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{3125 \cdot 10^{-9}}$

$S = \frac{2}{3125} \cdot 10^{-7 - (-9)} = \frac{2}{3125} \cdot 10^2$

$S = 0,00064 \cdot 100 = 0,064 \text{ м}^2$

Можно также выразить результат в квадратных сантиметрах: $0,064 \text{ м}^2 = 0,064 \cdot (100 \text{ см})^2 = 0,064 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 640 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь каждой пластины конденсатора равна $0,064 \text{ м}^2$.