Номер 745, страница 162 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

745. Из заряженного плоского конденсатора вытащили диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого $\varepsilon$.

Во сколько раз изменилась энергия конденсатора, если заряд конденсатора оставался постоянным?

Дано:

Начальная диэлектрическая проницаемость среды в конденсаторе: $\varepsilon_1 = \varepsilon$
Конечная диэлектрическая проницаемость среды в конденсаторе (вакуум): $\varepsilon_2 = 1$
Заряд конденсатора: $q = const$

Найти:

Отношение конечной энергии к начальной: $\frac{W_2}{W_1}$

Решение:

Энергия заряженного конденсатора может быть вычислена по формуле, связывающей энергию, заряд и электроемкость. Поскольку по условию задачи заряд конденсатора остается постоянным (конденсатор изолирован), удобно использовать следующую формулу для энергии $W$:

$W = \frac{q^2}{2C}$

где $q$ — заряд конденсатора, а $C$ — его электроемкость.

Электроемкость плоского конденсатора зависит от диэлектрической проницаемости среды между обкладками $\varepsilon$, площади обкладок $S$ и расстояния между ними $d$:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

В начальном состоянии, когда внутри конденсатора находится диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$, его емкость $C_1$ равна:

$C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Энергия конденсатора в этом состоянии $W_1$ составляет:

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1}$

После того как диэлектрик убрали, средой между обкладками стал вакуум (или воздух), диэлектрическая проницаемость которого принимается равной 1. Емкость конденсатора в конечном состоянии $C_2$ будет:

$C_2 = \frac{1 \cdot \varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

Энергия конденсатора в конечном состоянии $W_2$ при том же заряде $q$ будет:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась энергия, найдем отношение конечной энергии $W_2$ к начальной $W_1$:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{q^2}{2C_2}}{\frac{q^2}{2C_1}} = \frac{C_1}{C_2}$

Подставим выражения для емкостей $C_1$ и $C_2$:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}}{\frac{\varepsilon_0 S}{d}} = \varepsilon$

Так как диэлектрическая проницаемость любого вещества $\varepsilon > 1$, то энергия конденсатора увеличилась. Это произошло за счет совершения внешней работы против сил притяжения между обкладками конденсатора и поляризованным диэлектриком.

Ответ: Энергия конденсатора увеличилась в $\varepsilon$ раз.