Номер 749, страница 163 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

749. *Внутри плоского конденсатора параллельно его обкладкам находится стеклянная пластина, площадь которой равна площади обкладок, а толщина вдвое меньше расстояния между ними. Конденсатор заряжен до напряжения $U = 300 \text{ В}$ и отключен от источника. Какую работу надо совершить, чтобы медленно извлечь пластину из конденсатора? Емкость конденсатора без пластины $C = 4,0 \text{ мкФ}$. Диэлектрическая проницаемость стекла $\varepsilon = 2,0$.

Дано:

$U = 300 \text{ В}$

$C = 4,0 \text{ мкФ}$

$\varepsilon = 2,0$

Толщина пластины $d_{пл} = d/2$, где $d$ – расстояние между обкладками.

$C = 4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$A - ?$

Решение:

Работа, которую необходимо совершить, чтобы извлечь пластину из конденсатора, равна изменению энергии электрического поля конденсатора:

$A = W_2 - W_1$,

где $W_1$ – начальная энергия конденсатора (с пластиной), а $W_2$ – конечная энергия (без пластины).

Поскольку конденсатор был отключен от источника, заряд $q$ на его обкладках остается постоянным в процессе извлечения пластины.

Начальная энергия конденсатора (с пластиной) равна:

$W_1 = \frac{C_1 U^2}{2}$

Здесь $C_1$ – емкость конденсатора с диэлектрической пластиной, $U$ – начальное напряжение.

Конденсатор с пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора: один, заполненный стеклом, с толщиной $d_{пл} = d/2$, и второй, воздушный, с толщиной $d - d_{пл} = d/2$. Их емкости равны:

$C_{стекло} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d/2}$

$C_{воздух} = \frac{\varepsilon_0 S}{d/2}$

Общая емкость $C_1$ при последовательном соединении находится из соотношения:

$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C_{стекло}} + \frac{1}{C_{воздух}} = \frac{d/2}{\varepsilon \varepsilon_0 S} + \frac{d/2}{\varepsilon_0 S} = \frac{d}{2\varepsilon_0 S}\left(\frac{1}{\varepsilon} + 1\right) = \frac{d}{2\varepsilon_0 S}\frac{1+\varepsilon}{\varepsilon}$

Отсюда $C_1 = \frac{2\varepsilon_0 S}{d} \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$.

Емкость конденсатора без пластины (конечная емкость) равна $C_2 = C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$.

Таким образом, можно выразить $C_1$ через $C$:

$C_1 = 2C \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$

Подставим числовые значения:

$C_1 = 2 \cdot (4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot \frac{2,0}{1+2,0} = 8,0 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3} \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Заряд на обкладках конденсатора:

$q = C_1 U = \frac{16}{3} \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 300 \text{ В} = 16 \cdot 10^{-4} \text{ Кл} = 1,6 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Конечная энергия конденсатора (без пластины):

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{q^2}{2C}$

Работа по извлечению пластины:

$A = W_2 - W_1 = \frac{q^2}{2C} - \frac{C_1 U^2}{2}$

Так как $q = C_1 U$, можно переписать формулу для работы:

$A = \frac{(C_1 U)^2}{2C} - \frac{C_1 U^2}{2} = \frac{C_1 U^2}{2} \left(\frac{C_1}{C} - 1\right)$

Найдем отношение емкостей:

$\frac{C_1}{C} = \frac{2C \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}}{C} = \frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon} = \frac{2 \cdot 2,0}{1+2,0} = \frac{4}{3}$

Теперь вычислим работу:

$A = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{16}{3} \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\right) \cdot (300 \text{ В})^2 \cdot \left(\frac{4}{3} - 1\right)$

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} \cdot 10^{-6} \cdot 9 \cdot 10^4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16 \cdot 9}{2 \cdot 3 \cdot 3} \cdot 10^{-2} = \frac{144}{18} \cdot 10^{-2} = 8 \cdot 10^{-2} \text{ Дж} = 0,08 \text{ Дж}$

Ответ: $0,08 \text{ Дж}$.