Номер 746, страница 162 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

746. Во сколько раз увеличили расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, если при этом была выполнена работа $A = 1,0 \text{ нДж}$? Заряд пластин конденсатора $q = 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ Кл}$. Площадь пластин $S = 10 \text{ см}^2$. Первоначальное расстояние между пластинами $d = 0,59 \text{ мм}$. Конденсатор заряжен и отключен от источника тока.

Дано:

$A = 1,0 \text{ нДж} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Дж}$

$q = 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ Кл}$

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$d_1 = 0,59 \text{ мм} = 0,59 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

$\frac{d_2}{d_1}$

Решение:

Конденсатор заряжен и отключен от источника тока, следовательно, заряд на его пластинах $q$ остается постоянным. Работа $A$, выполненная при увеличении расстояния между пластинами, равна изменению энергии электрического поля конденсатора $\Delta W$.

$A = \Delta W = W_2 - W_1$, где $W_1$ и $W_2$ — начальная и конечная энергия конденсатора.

Энергия заряженного конденсатора, заряд которого постоянен, вычисляется по формуле:

$W = \frac{q^2}{2C}$

Емкость плоского воздушного конденсатора зависит от расстояния между пластинами $d$ и их площади $S$:

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

Тогда энергию можно выразить через геометрические параметры конденсатора:

$W = \frac{q^2}{2 \frac{\varepsilon_0 S}{d}} = \frac{q^2 d}{2 \varepsilon_0 S}$

Запишем выражения для начальной и конечной энергии:

$W_1 = \frac{q^2 d_1}{2 \varepsilon_0 S}$

$W_2 = \frac{q^2 d_2}{2 \varepsilon_0 S}$

Подставим эти выражения в формулу для работы:

$A = W_2 - W_1 = \frac{q^2 d_2}{2 \varepsilon_0 S} - \frac{q^2 d_1}{2 \varepsilon_0 S} = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 S} (d_2 - d_1)$

Выразим отсюда конечное расстояние $d_2$:

$d_2 - d_1 = \frac{2 A \varepsilon_0 S}{q^2}$

$d_2 = d_1 + \frac{2 A \varepsilon_0 S}{q^2}$

Найдем, во сколько раз увеличили расстояние, то есть отношение $\frac{d_2}{d_1}$:

$\frac{d_2}{d_1} = \frac{d_1 + \frac{2 A \varepsilon_0 S}{q^2}}{d_1} = 1 + \frac{2 A \varepsilon_0 S}{q^2 d_1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{d_2}{d_1} = 1 + \frac{2 \cdot 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Дж} \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}{(1,0 \cdot 10^{-10} \text{ Кл})^2 \cdot 0,59 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 1 + \frac{1,77 \cdot 10^{-23}}{1,0 \cdot 10^{-20} \cdot 0,59 \cdot 10^{-3}} = 1 + \frac{1,77 \cdot 10^{-23}}{0,59 \cdot 10^{-23}} = 1 + 3 = 4$

Ответ: Расстояние между пластинами увеличили в 4 раза.