Номер 744, страница 162 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

744. Воздушный конденсатор емкостью $C = 18 \text{ мкФ}$ зарядили до напряжения $U = 100 \text{ В}$ и отключили от источника питания. Определите работу, совершенную силами электрического поля при заполнении пространства между обкладками конденсатора диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого $\varepsilon = 3.0$.

Дано:

$C = 18$ мкФ

$U = 100$ В

$\epsilon = 3.0$

$C = 18 \cdot 10^{-6}$ Ф

$U = 100$ В

$\epsilon = 3.0$

Найти:

$A$

Решение:

Работа, совершаемая силами электрического поля, равна убыли потенциальной энергии системы (конденсатора). Обозначим начальную энергию конденсатора как $W_1$, а конечную (после введения диэлектрика) как $W_2$.

$A = W_1 - W_2$

Начальная энергия конденсатора до введения диэлектрика рассчитывается по формуле:

$W_1 = \frac{C U^2}{2}$

После зарядки конденсатор был отключен от источника питания. Это означает, что заряд $q$ на его обкладках остается постоянным в течение всего процесса ($q = \text{const}$).

Энергию конденсатора можно также выразить через заряд и емкость:

$W = \frac{q^2}{2C}$

При заполнении пространства между обкладками диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, его емкость увеличивается в $\epsilon$ раз. Новая емкость $C'$ будет равна:

$C' = \epsilon C$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ с диэлектриком и тем же зарядом $q$ равна:

$W_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2 \epsilon C}$

Так как $W_1 = \frac{q^2}{2C}$, то можно выразить $W_2$ через $W_1$:

$W_2 = \frac{1}{\epsilon} \cdot \frac{q^2}{2C} = \frac{W_1}{\epsilon}$

Теперь можем найти работу $A$:

$A = W_1 - W_2 = W_1 - \frac{W_1}{\epsilon} = W_1 \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right)$

Подставим в эту формулу выражение для $W_1$:

$A = \frac{C U^2}{2} \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right)$

Произведем вычисления:

$A = \frac{18 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (100 \text{ В})^2}{2} \left(1 - \frac{1}{3.0}\right) = (9 \cdot 10^{-6} \cdot 10000) \left(\frac{2}{3}\right)$

$A = 0.09 \text{ Дж} \cdot \frac{2}{3} = 0.06$ Дж

Ответ: работа, совершенная силами электрического поля, равна $0.06$ Дж.