Номер 754, страница 166 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

754. Две проволоки — медная и алюминиевая — имеют одинаковые массы. Длина медной проволоки в $n = 2$ раза больше длины алюминиевой. Во сколько раз сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой? Плотность меди в $k_1 = 3,3$ раза больше плотности алюминия, а удельное сопротивление меди в $k_2 = 1,65$ раза меньше удельного сопротивления алюминия.

Дано:

$m_м = m_а$ (массы проволок равны)

$\frac{L_м}{L_а} = n = 2$

$\frac{\rho_{п,м}}{\rho_{п,а}} = k_1 = 3.3$

$\frac{\rho_а}{\rho_м} = k_2 = 1.65 \implies \rho_м = \frac{\rho_а}{k_2}$

Все величины, кроме масс, даны в относительных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

$\frac{R_м}{R_а}$

Решение:

Сопротивление проводника $R$ определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $L$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Масса проводника $m$ связана с его объемом $V$ и плотностью $\rho_п$:

$m = \rho_п V = \rho_п L S$

Выразим площадь поперечного сечения $S$ из формулы для массы:

$S = \frac{m}{\rho_п L}$

Подставим это выражение для $S$ в формулу для сопротивления:

$R = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{L}{\frac{m}{\rho_п L}} = \frac{\rho \rho_п L^2}{m}$

Запишем формулы для сопротивления медной ($R_м$) и алюминиевой ($R_а$) проволок:

$R_м = \frac{\rho_м \rho_{п,м} L_м^2}{m_м}$

$R_а = \frac{\rho_а \rho_{п,а} L_а^2}{m_а}$

Найдем отношение сопротивления медной проволоки к сопротивлению алюминиевой:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{\frac{\rho_м \rho_{п,м} L_м^2}{m_м}}{\frac{\rho_а \rho_{п,а} L_а^2}{m_а}}$

Так как по условию массы проволок равны ($m_м = m_а$), они сокращаются:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{\rho_м \rho_{п,м} L_м^2}{\rho_а \rho_{п,а} L_а^2} = \left(\frac{\rho_м}{\rho_а}\right) \left(\frac{\rho_{п,м}}{\rho_{п,а}}\right) \left(\frac{L_м}{L_а}\right)^2$

Подставим в эту формулу соотношения, данные в условии задачи:

$\frac{\rho_м}{\rho_а} = \frac{1}{k_2}$

$\frac{\rho_{п,м}}{\rho_{п,а}} = k_1$

$\frac{L_м}{L_а} = n$

Получаем:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{1}{k_2} \cdot k_1 \cdot n^2 = \frac{k_1 n^2}{k_2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{3.3 \cdot 2^2}{1.65} = \frac{3.3 \cdot 4}{1.65} = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: Сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой в 8 раз.