Номер 761, страница 167 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

761. К источнику постоянного напряжения $U = 120 \text{ В}$ подключают два резистора. При их последовательном соединении сила тока в цепи $I_1 = 3,0 \text{ А}$, а при параллельном — суммарная сила тока в цепи $I_2 = 16,0 \text{ А}$. Определите сопротивления резисторов.

Дано:

$U = 120$ В

$I_1 = 3,0$ А (ток при последовательном соединении)

$I_2 = 16,0$ А (суммарный ток при параллельном соединении)

Найти:

$R_1$ и $R_2$

Решение:

Обозначим сопротивления резисторов как $R_1$ и $R_2$.

1. При последовательном соединении общее сопротивление цепи $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Согласно закону Ома ($U = I \cdot R$), для последовательного соединения запишем:

$U = I_1 \cdot R_{посл} = I_1 \cdot (R_1 + R_2)$

Из этого уравнения выразим сумму сопротивлений $R_1 + R_2$:

$R_1 + R_2 = \frac{U}{I_1} = \frac{120 \text{ В}}{3,0 \text{ А}} = 40 \text{ Ом}$

2. При параллельном соединении общее сопротивление цепи $R_{пар}$ определяется выражением:

$R_{пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

По закону Ома для параллельного соединения:

$U = I_2 \cdot R_{пар} = I_2 \cdot \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим в это уравнение известные значения и найденную ранее сумму сопротивлений ($R_1 + R_2 = 40 \text{ Ом}$):

$120 \text{ В} = 16,0 \text{ А} \cdot \frac{R_1 \cdot R_2}{40 \text{ Ом}}$

Теперь выразим произведение сопротивлений $R_1 \cdot R_2$:

$R_1 \cdot R_2 = \frac{120 \text{ В} \cdot 40 \text{ Ом}}{16,0 \text{ А}} = \frac{4800}{16} = 300 \text{ Ом}^2$

3. В результате мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 40 \\ R_1 \cdot R_2 = 300 \end{cases}$

Такая система легко решается. Согласно обратной теореме Виета, $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 40x + 300 = 0$.

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1600 - 1200 = 400$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + \sqrt{400}}{2} = \frac{40 + 20}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - \sqrt{400}}{2} = \frac{40 - 20}{2} = 10$

Следовательно, сопротивления резисторов равны 10 Ом и 30 Ом.

Ответ: сопротивления резисторов равны 10 Ом и 30 Ом.