Номер 889, страница 195 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

889. При разомкнутом ключе $K$ (рис. 192) заряд конденсатора $q_1 = 60 \text{ мкКл}$. Определите ЭДС источника тока и заряд конденсатора, если замкнуть ключ $K$. Электроемкость конденсатора $C = 5,0 \text{ мкФ}$, а внутреннее сопротивление источника тока $r = R$.

Рис. 192

Дано:

$q_1 = 60 \text{ мкКл} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$C = 5,0 \text{ мкФ} = 5,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$r = R$

Найти:

$\mathscr{E} - ?$

$q_2 - ?$

Решение:

ЭДС источника тока

Рассмотрим цепь при разомкнутом ключе K. В установившемся режиме постоянный ток через ветвь, содержащую конденсатор, не протекает. Следовательно, ток от источника проходит только через последовательно соединенные резисторы R и 2R.

Внешнее сопротивление цепи в этом случае равно:

$R_{внеш1} = R + 2R = 3R$

Полное сопротивление цепи, учитывая, что внутреннее сопротивление источника $r=R$, составляет:

$R_{полн1} = R_{внеш1} + r = 3R + R = 4R$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathscr{E}}{R_{полн1}} = \frac{\mathscr{E}}{4R}$

Напряжение на конденсаторе $U_{C1}$ равно напряжению между точками его подключения. Так как ток через резистор 3R не течет ($I_C=0$), падение напряжения на нем равно нулю. Таким образом, напряжение на конденсаторе равно напряжению на всем внешнем участке цепи (на последовательно соединенных резисторах R и 2R).

$U_{C1} = I_1 \cdot R_{внеш1} = \frac{\mathscr{E}}{4R} \cdot 3R = \frac{3}{4}\mathscr{E}$

Заряд на конденсаторе связан с напряжением и емкостью соотношением $q_1 = C \cdot U_{C1}$. Выразим из этой формулы ЭДС:

$q_1 = C \cdot \frac{3}{4}\mathscr{E} \implies \mathscr{E} = \frac{4q_1}{3C}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\mathscr{E} = \frac{4 \cdot 60 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{3 \cdot 5,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{240}{15} \text{ В} = 16 \text{ В}$

Ответ: ЭДС источника тока $\mathscr{E} = 16 \text{ В}$.

Заряд конденсатора, если замкнуть ключ K

Теперь рассмотрим цепь при замкнутом ключе K. Схема цепи изменяется: резистор R оказывается соединен параллельно с конденсатором C, а резистор 3R — параллельно с резистором 2R. Эти две параллельные группы соединены последовательно.

В установившемся режиме постоянный ток через сам конденсатор не течет, но он протекает через параллельный ему резистор R. Таким образом, сопротивление этого участка цепи равно R.

Найдем сопротивление второго участка, где резисторы 2R и 3R соединены параллельно:

$R_{23} = \frac{2R \cdot 3R}{2R + 3R} = \frac{6R^2}{5R} = \frac{6}{5}R$

Внешнее сопротивление всей цепи будет равно сумме сопротивлений последовательно соединенных участков:

$R_{внеш2} = R + R_{23} = R + \frac{6}{5}R = \frac{11}{5}R$

Полное сопротивление цепи:

$R_{полн2} = R_{внеш2} + r = \frac{11}{5}R + R = \frac{16}{5}R$

Сила тока, протекающего от источника в этом случае:

$I_2 = \frac{\mathscr{E}}{R_{полн2}} = \frac{\mathscr{E}}{(16/5)R} = \frac{5\mathscr{E}}{16R}$

Напряжение на конденсаторе $U_{C2}$ равно напряжению на параллельно соединенном с ним резисторе R:

$U_{C2} = U_R = I_2 \cdot R = \frac{5\mathscr{E}}{16R} \cdot R = \frac{5\mathscr{E}}{16}$

Новый заряд на конденсаторе $q_2$ найдем по формуле $q_2 = C \cdot U_{C2}$:

$q_2 = C \cdot \frac{5\mathscr{E}}{16}$

Подставим известные значения $C$ и найденное ранее значение $\mathscr{E}$:

$q_2 = 5,0 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot \frac{5 \cdot 16 \text{ В}}{16} = 5,0 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \text{ Кл} = 25 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 25 \text{ мкКл}$

Ответ: Заряд конденсатора при замкнутом ключе равен $25 \text{ мкКл}$.