Номер 890, страница 195 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

890. К источнику тока с ЭДС $\mathcal{E}=8,0 \text{ В}$ и внутренним сопротивлением $r=1,6 \text{ Ом}$ подключены резисторы сопротивлениями $R_1=1,0 \text{ Ом}$, $R_2=2,0 \text{ Ом}$, $R_3=3,0 \text{ Ом}$, $R_4=4,0 \text{ Ом}$ и четыре конденсатора (рис. 193). Определите электроемкость конденсаторов $C_1$, $C_2$ и $C_3$, если электроемкость четвертого конденсатора $C_4 = 20 \text{ мкФ}$, а заряды на всех конденсаторах одинаковы.

Рис. 193

Дано:

ЭДС источника, $\mathscr{E} = 8,0$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 1,6$ Ом

Сопротивление резистора $R_1 = 1,0$ Ом

Сопротивление резистора $R_2 = 2,0$ Ом

Сопротивление резистора $R_3 = 3,0$ Ом

Сопротивление резистора $R_4 = 4,0$ Ом

Электроемкость конденсатора $C_4 = 20$ мкФ $= 20 \times 10^{-6}$ Ф

Заряды на всех конденсаторах одинаковы: $q_1 = q_2 = q_3 = q_4 = q$

Найти:

Электроемкости конденсаторов $C_1, C_2, C_3$

Решение:

1. В режиме постоянного тока (после завершения всех переходных процессов) конденсаторы полностью заряжены и ток через них не течет. Они ведут себя как разрывы в цепи. Ток протекает только через резисторы. Напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на элементе цепи, к которому он подключен параллельно.

2. Анализ схемы показывает, что резисторы $R_1, R_2, R_3, R_4$ образуют мостовую схему (мост Уитстона). Судя по расположению элементов, конденсаторы подключены параллельно соответствующим резисторам: $C_1$ параллельно $R_1$, $C_2$ параллельно $R_2$, $C_3$ параллельно $R_3$ и $C_4$ параллельно $R_4$. Источник тока подключен к двум противоположным вершинам моста.

Внешняя цепь состоит из двух параллельных ветвей:

• Верхняя ветвь с последовательно соединенными резисторами $R_1$ и $R_2$. Ее сопротивление: $R_{12} = R_1 + R_2 = 1,0 + 2,0 = 3,0$ Ом.
• Нижняя ветвь с последовательно соединенными резисторами $R_4$ и $R_3$. Ее сопротивление: $R_{43} = R_4 + R_3 = 4,0 + 3,0 = 7,0$ Ом.

3. Найдем общее сопротивление внешней цепи $R_{ext}$:

$R_{ext} = \frac{R_{12} \cdot R_{43}}{R_{12} + R_{43}} = \frac{3,0 \cdot 7,0}{3,0 + 7,0} = \frac{21,0}{10,0} = 2,1$ Ом.

4. Полное сопротивление цепи равно сумме внешнего и внутреннего сопротивлений:

$R_{полн} = R_{ext} + r = 2,1 + 1,6 = 3,7$ Ом.

5. По закону Ома для полной цепи найдем общий ток, протекающий от источника:

$I_{общ} = \frac{\mathscr{E}}{R_{полн}} = \frac{8,0 \text{ В}}{3,7 \text{ Ом}} = \frac{80}{37}$ А.

6. Напряжение на внешней цепи (на зажимах моста) равно:

$U_{ext} = I_{общ} \cdot R_{ext} = \frac{80}{37} \text{ А} \cdot 2,1 \text{ Ом} = \frac{168}{37}$ В.

7. Это напряжение приложено к обеим параллельным ветвям моста. Найдем токи в каждой ветви:

Ток в ветви с $R_1$ и $R_2$: $I_{12} = \frac{U_{ext}}{R_{12}} = \frac{168/37 \text{ В}}{3,0 \text{ Ом}} = \frac{56}{37}$ А.

Ток в ветви с $R_4$ и $R_3$: $I_{43} = \frac{U_{ext}}{R_{43}} = \frac{168/37 \text{ В}}{7,0 \text{ Ом}} = \frac{24}{37}$ А.

8. Теперь найдем напряжения на каждом резисторе. Так как конденсаторы подключены параллельно резисторам, напряжения на них будут такими же.

$U_{C1} = U_{R1} = I_{12} \cdot R_1 = \frac{56}{37} \text{ А} \cdot 1,0 \text{ Ом} = \frac{56}{37}$ В.

$U_{C2} = U_{R2} = I_{12} \cdot R_2 = \frac{56}{37} \text{ А} \cdot 2,0 \text{ Ом} = \frac{112}{37}$ В.

$U_{C3} = U_{R3} = I_{43} \cdot R_3 = \frac{24}{37} \text{ А} \cdot 3,0 \text{ Ом} = \frac{72}{37}$ В.

$U_{C4} = U_{R4} = I_{43} \cdot R_4 = \frac{24}{37} \text{ А} \cdot 4,0 \text{ Ом} = \frac{96}{37}$ В.

9. По условию, заряды на всех конденсаторах одинаковы. Найдем величину этого заряда $q$, используя данные для четвертого конденсатора:

$q = C_4 \cdot U_{C4} = (20 \times 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot \frac{96}{37} \text{ В} = \frac{1920}{37} \times 10^{-6}$ Кл.

10. Зная заряд $q$ и напряжения на остальных конденсаторах, найдем их электроемкости по формуле $C = q/U$:

$C_1 = \frac{q}{U_{C1}} = \frac{1920/37 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{56/37 \text{ В}} = \frac{1920}{56} \times 10^{-6} \text{ Ф} = \frac{240}{7} \times 10^{-6} \text{ Ф} \approx 34,3$ мкФ.

$C_2 = \frac{q}{U_{C2}} = \frac{1920/37 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{112/37 \text{ В}} = \frac{1920}{112} \times 10^{-6} \text{ Ф} = \frac{120}{7} \times 10^{-6} \text{ Ф} \approx 17,1$ мкФ.

$C_3 = \frac{q}{U_{C3}} = \frac{1920/37 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{72/37 \text{ В}} = \frac{1920}{72} \times 10^{-6} \text{ Ф} = \frac{80}{3} \times 10^{-6} \text{ Ф} \approx 26,7$ мкФ.

Ответ:

Электроемкость конденсатора $C_1 \approx 34,3$ мкФ, $C_2 \approx 17,1$ мкФ, $C_3 \approx 26,7$ мкФ.