Номер 886, страница 194 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

886. На рисунке 189 представлена схема электрической цепи, в которую включен источник тока с ЭДС $\mathcal{E} = 20$ В и внутренним сопротивлением $r$. Сопротивления резисторов $R_1 = r$, $R_2 = 5r$, $R_3 = 2r$ и $R_4 = 4r$. Электроемкость плоского конденсатора $C = 6,4$ мкФ. Определите работу, которую надо совершить, чтобы быстро (без изменения заряда на конденсаторе) увеличить расстояние между пластинами конденсатора в $n = 2,5$ раза.

Рис. 189

Дано:

$\mathcal{E} = 20$ В
$R_1 = r$
$R_2 = 5r$
$R_3 = 2r$
$R_4 = 4r$
$C = 6,4$ мкФ $= 6,4 \cdot 10^{-6}$ Ф
$n = 2,5$

Найти:

$A$

Решение:

Работа $A$, которую необходимо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами конденсатора, равна изменению энергии электрического поля конденсатора:

$A = W_{конечная} - W_{начальная}$

Энергия заряженного конденсатора определяется формулой $W = \frac{q^2}{2C}$. В условии сказано, что расстояние увеличивают "быстро", это означает, что процесс происходит за время, в течение которого заряд на обкладках конденсатора не успевает измениться. Таким образом, заряд $q$ можно считать постоянным в течение всего процесса.

Пусть начальная емкость конденсатора $C_1 = C$, а конечная — $C_2$. Тогда работа равна:

$A = W_2 - W_1 = \frac{q^2}{2C_2} - \frac{q^2}{2C_1} = \frac{q^2}{2} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right)$

Емкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию $d$ между его пластинами: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$. Если расстояние увеличить в $n$ раз, то новая емкость $C_2$ будет в $n$ раз меньше начальной:

$C_2 = \frac{C_1}{n} = \frac{C}{n}$

Подставляя это в формулу для работы, получаем:

$A = \frac{q^2}{2} \left( \frac{n}{C} - \frac{1}{C} \right) = \frac{q^2(n-1)}{2C}$

Чтобы найти работу, необходимо определить начальный заряд $q$ на конденсаторе. В цепи постоянного тока после завершения переходных процессов (когда конденсатор полностью зарядился) ток через конденсатор не течет. Таким образом, цепь можно рассматривать как состоящую из источника ЭДС и двух параллельных ветвей: верхняя с последовательно соединенными резисторами $R_1$ и $R_2$, и нижняя с $R_3$ и $R_4$.

Найдем общее сопротивление цепи. Сопротивление верхней ветви:

$R_{12} = R_1 + R_2 = r + 5r = 6r$

Сопротивление нижней ветви:

$R_{34} = R_3 + R_4 = 2r + 4r = 6r$

Эти две ветви соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление (внешнее сопротивление цепи):

$R_{внеш} = \frac{R_{12} \cdot R_{34}}{R_{12} + R_{34}} = \frac{6r \cdot 6r}{6r + 6r} = \frac{36r^2}{12r} = 3r$

По закону Ома для полной цепи, общий ток, текущий от источника:

$I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r} = \frac{\mathcal{E}}{3r + r} = \frac{\mathcal{E}}{4r}$

Так как сопротивления параллельных ветвей равны ($R_{12} = R_{34}$), общий ток разделится между ними поровну:

$I_1 = I_2 = \frac{I_{общ}}{2} = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}}{4r} = \frac{\mathcal{E}}{8r}$

Напряжение на конденсаторе $U_C$ равно разности потенциалов между точками, к которым он подключен. Эта разность потенциалов равна разности падений напряжений, например, на резисторах $R_1$ и $R_3$.

Падение напряжения на $R_1$: $U_1 = I_1 \cdot R_1 = \frac{\mathcal{E}}{8r} \cdot r = \frac{\mathcal{E}}{8}$

Падение напряжения на $R_3$: $U_3 = I_2 \cdot R_3 = \frac{\mathcal{E}}{8r} \cdot 2r = \frac{2\mathcal{E}}{8} = \frac{\mathcal{E}}{4}$

Напряжение на конденсаторе:

$U_C = |U_3 - U_1| = \left| \frac{\mathcal{E}}{4} - \frac{\mathcal{E}}{8} \right| = \frac{\mathcal{E}}{8}$

Теперь можем найти начальный заряд на конденсаторе:

$q = C \cdot U_C = C \frac{\mathcal{E}}{8}$

Подставим это выражение для заряда $q$ в формулу для работы $A$:

$A = \frac{\left( C \frac{\mathcal{E}}{8} \right)^2 (n-1)}{2C} = \frac{C^2 \mathcal{E}^2 (n-1)}{64 \cdot 2C} = \frac{C \mathcal{E}^2 (n-1)}{128}$

Осталось подставить числовые значения:

$A = \frac{(6,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (20 \text{ В})^2 \cdot (2,5 - 1)}{128} = \frac{6,4 \cdot 10^{-6} \cdot 400 \cdot 1,5}{128}$

$A = \frac{6,4 \cdot 600}{128} \cdot 10^{-6} = \frac{3840}{128} \cdot 10^{-6} = 30 \cdot 10^{-6}$ Дж.

Таким образом, работа равна 30 мкДж.

Ответ: $A = 30$ мкДж.