Номер 903, страница 199 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

903. Резистор сопротивлением $R = 190 \text{ Ом}$ подключен к источнику тока с внутренним сопротивлением $r = 10 \text{ Ом}$. Во сколько раз уменьшится тепловая мощность тока в этом резисторе, если параллельно ему подсоединить второй такой же резистор?

Дано:

$R = 190 \text{ Ом}$

$r = 10 \text{ Ом}$

Найти:

$\frac{P_1}{P_2} - ?$

Решение:

1. Сначала рассмотрим случай, когда к источнику подключен только один резистор. Обозначим тепловую мощность, выделяющуюся на нем, как $P_1$.

Сила тока в цепи, согласно закону Ома для полной цепи, равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

где $\mathcal{E}$ — электродвижущая сила (ЭДС) источника.

Тепловая мощность на резисторе $R$ определяется по закону Джоуля-Ленца:

$P_1 = I_1^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R$

2. Теперь рассмотрим второй случай, когда параллельно первому резистору подключают второй такой же резистор. Обозначим тепловую мощность на первом резисторе в этом случае как $P_2$.

Общее сопротивление двух одинаковых резисторов, соединенных параллельно, равно:

$R_{внеш} = \frac{R}{2}$

Общий ток, который течет от источника, теперь будет равен:

$I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R}{2} + r}$

Этот ток разделится поровну между двумя одинаковыми параллельными резисторами. Следовательно, ток через первый резистор будет:

$I_2 = \frac{I_{общ}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathcal{E}}{\frac{R}{2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R + 2r}$

Новая тепловая мощность на первом резисторе равна:

$P_2 = I_2^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + 2r}\right)^2 R$

3. Чтобы найти, во сколько раз уменьшится тепловая мощность, найдем отношение $P_1$ к $P_2$:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R}{\left(\frac{\mathcal{E}}{R + 2r}\right)^2 R}$

Сократив одинаковые множители $\mathcal{E}^2$ и $R$, получим:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{1}{(R + r)^2}}{\frac{1}{(R + 2r)^2}} = \frac{(R + 2r)^2}{(R + r)^2} = \left(\frac{R + 2r}{R + r}\right)^2$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{190 + 2 \cdot 10}{190 + 10}\right)^2 = \left(\frac{190 + 20}{200}\right)^2 = \left(\frac{210}{200}\right)^2 = (1.05)^2 = 1.1025$

Ответ: Тепловая мощность тока в резисторе уменьшится в 1,1025 раза.