Номер 904, страница 199 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

904. Электрическая цепь состоит из источника тока, к которому подключены лампочка и резистор, соединенные последовательно. Поясните, как изменится мощность тока, выделяемая в источнике тока, если резистор и лампочку соединить параллельно и снова подключить к источнику тока.

Дано:

Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.

Лампочка с сопротивлением $R_л$.

Резистор с сопротивлением $R_р$.

Случай 1: Лампочка и резистор соединены последовательно.

Случай 2: Лампочка и резистор соединены параллельно.

Найти:

Как изменится мощность тока, выделяемая в источнике тока ($P_{ист}$), при переходе от последовательного соединения к параллельному.

Решение:

Мощность тока, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника тока (то есть "в источнике"), определяется формулой: $P_{ист} = I^2 \cdot r$, где $I$ – общая сила тока в цепи, а $r$ – внутреннее сопротивление источника. Чтобы определить, как изменится мощность, нужно проанализировать, как изменится сила тока в цепи при смене типа соединения.

1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении общее сопротивление внешней цепи $R_{внеш1}$ равно сумме сопротивлений лампочки и резистора:

$R_{внеш1} = R_л + R_р$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I_1$ в этом случае будет равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш1} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R_л + R_р + r}$

Тогда мощность, выделяемая в источнике тока, $P_{ист1}$:

$P_{ист1} = I_1^2 \cdot r = \left( \frac{\mathcal{E}}{R_л + R_р + r} \right)^2 \cdot r$

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении общее сопротивление внешней цепи $R_{внеш2}$ находится из соотношения:

$\frac{1}{R_{внеш2}} = \frac{1}{R_л} + \frac{1}{R_р} = \frac{R_р + R_л}{R_л R_р}$

Отсюда:

$R_{внеш2} = \frac{R_л R_р}{R_л + R_р}$

Сила тока $I_2$ в этом случае будет:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R_л R_р}{R_л + R_р} + r}$

Мощность, выделяемая в источнике тока, $P_{ист2}$:

$P_{ист2} = I_2^2 \cdot r = \left( \frac{\mathcal{E}}{\frac{R_л R_р}{R_л + R_р} + r} \right)^2 \cdot r$

3. Сравнение.

Для сравнения мощностей $P_{ист1}$ и $P_{ист2}$ необходимо сравнить внешние сопротивления $R_{внеш1}$ и $R_{внеш2}$. Известно, что сопротивление при последовательном соединении всегда больше, чем при параллельном. Докажем это:

$R_{внеш1} - R_{внеш2} = (R_л + R_р) - \frac{R_л R_р}{R_л + R_р} = \frac{(R_л + R_р)^2 - R_л R_р}{R_л + R_р} = \frac{R_л^2 + 2R_л R_р + R_р^2 - R_л R_р}{R_л + R_р} = \frac{R_л^2 + R_л R_р + R_р^2}{R_л + R_р}$

Поскольку сопротивления $R_л$ и $R_р$ всегда положительны, то числитель и знаменатель дроби положительны, а значит, $R_{внеш1} - R_{внеш2} > 0$. Следовательно, $R_{внеш1} > R_{внеш2}$.

Так как сопротивление внешней цепи при последовательном соединении больше, чем при параллельном, то и полное сопротивление цепи в первом случае ($R_{полн1} = R_{внеш1} + r$) больше, чем во втором ($R_{полн2} = R_{внеш2} + r$).

$R_{полн1} > R_{полн2}$

Сила тока в цепи обратно пропорциональна полному сопротивлению ($I = \mathcal{E}/R_{полн}$). Следовательно, сила тока при параллельном соединении будет больше, чем при последовательном:

$I_2 > I_1$

Поскольку мощность, выделяемая в источнике, пропорциональна квадрату силы тока ($P_{ист} = I^2 r$), то при увеличении тока мощность также увеличится.

$P_{ист2} > P_{ист1}$

Таким образом, при переключении лампочки и резистора с последовательного соединения на параллельное общее сопротивление внешней цепи уменьшается, что приводит к увеличению общего тока в цепи и, как следствие, к увеличению мощности, выделяемой в источнике тока.

Ответ: Мощность тока, выделяемая в источнике тока, увеличится.