Номер 911, страница 200 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

911. Определите ток короткого замыкания аккумуляторной батареи, если при силе тока $I_1 = 5,0$ А полезная мощность в цепи $P_1 = 30$ Вт, а при силе тока $I_2 = 10$ А полезная мощность в цепи $P_2 = 40$ Вт.

Дано:

$I_1 = 5,0$ А

$P_1 = 30$ Вт

$I_2 = 10$ А

$P_2 = 40$ Вт

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$I_{кз}$

Решение:

Полезная (внешняя) мощность $P$, выделяемая в цепи, связана с силой тока $I$ и напряжением на внешней нагрузке $U$ как $P = U \cdot I$. Отсюда $U = \frac{P}{I}$.

Согласно закону Ома для полной цепи, ЭДС источника $\mathcal{E}$ связана с силой тока $I$, внешним сопротивлением $R$ и внутренним сопротивлением $r$ соотношением: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$.

Это уравнение можно переписать в виде $\mathcal{E} = I(R+r) = IR + Ir$.

Так как напряжение на внешней нагрузке $U = IR$, то формула для ЭДС принимает вид: $\mathcal{E} = U + Ir$.

Подставим выражение для напряжения $U = \frac{P}{I}$ в формулу для ЭДС:

$\mathcal{E} = \frac{P}{I} + Ir$

Используя данные из условия для двух различных режимов работы, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.

Для первого случая ($I_1 = 5,0$ А, $P_1 = 30$ Вт):

$\mathcal{E} = \frac{P_1}{I_1} + I_1 r \implies \mathcal{E} = \frac{30}{5,0} + 5,0 \cdot r \implies \mathcal{E} = 6 + 5r$

Для второго случая ($I_2 = 10$ А, $P_2 = 40$ Вт):

$\mathcal{E} = \frac{P_2}{I_2} + I_2 r \implies \mathcal{E} = \frac{40}{10} + 10 \cdot r \implies \mathcal{E} = 4 + 10r$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \mathcal{E} = 6 + 5r \\ \mathcal{E} = 4 + 10r \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$6 + 5r = 4 + 10r$

Перенесем слагаемые с $r$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$10r - 5r = 6 - 4$

$5r = 2$

$r = \frac{2}{5} = 0,4$ Ом.

Теперь найдем ЭДС, подставив значение $r$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$\mathcal{E} = 6 + 5 \cdot 0,4 = 6 + 2 = 8$ В.

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ возникает, когда внешнее сопротивление равно нулю ($R=0$). По закону Ома для полной цепи он равен:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Подставим найденные значения $\mathcal{E}$ и $r$:

$I_{кз} = \frac{8 \text{ В}}{0,4 \text{ Ом}} = 20$ А.

Ответ: ток короткого замыкания аккумуляторной батареи равен 20 А.