Номер 912, страница 200 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

912. При замыкании источника тока на резистор сопротивлением $R_1 = 2$ Ом в резисторе за время $\tau = 25$ с выделяется тепловая энергия $Q_1 = 800$ Дж, а при замыкании на резистор сопротивлением $R_2 = 3$ Ом в цепи выделяется полная мощность $P_2 = 36$ Вт. Определите ток короткого замыкания для данного источника.

Дано:

$R_1 = 2$ Ом

$\tau = 25$ с

$Q_1 = 800$ Дж

$R_2 = 3$ Ом

$P_2 = 36$ Вт

Найти:

$I_{кз}$ - ?

Решение:

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ определяется как отношение ЭДС источника $\mathcal{E}$ к его внутреннему сопротивлению $r$:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Чтобы найти $I_{кз}$, нам необходимо определить $\mathcal{E}$ и $r$ источника. Для этого воспользуемся данными из двух экспериментов.

1. В первом случае источник замкнут на резистор с сопротивлением $R_1$. Количество теплоты $Q_1$, выделившееся в резисторе за время $\tau$, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q_1 = I_1^2 R_1 \tau$

где $I_1$ — сила тока в цепи. Выразим силу тока:

$I_1 = \sqrt{\frac{Q_1}{R_1 \tau}} = \sqrt{\frac{800 \text{ Дж}}{2 \text{ Ом} \cdot 25 \text{ с}}} = \sqrt{\frac{800}{50}} = \sqrt{16} = 4$ А

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I_1$ связана с параметрами источника и внешним сопротивлением следующим образом:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Отсюда выразим ЭДС источника:

$\mathcal{E} = I_1 (R_1 + r) = 4(2 + r)$ (1)

2. Во втором случае источник замкнут на резистор с сопротивлением $R_2$. Полная мощность $P_2$, выделяющаяся в цепи, равна:

$P_2 = \mathcal{E} I_2$, где $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + r}$

Подставив выражение для тока, получим:

$P_2 = \frac{\mathcal{E}^2}{R_2 + r}$

Отсюда выразим квадрат ЭДС:

$\mathcal{E}^2 = P_2(R_2 + r) = 36(3 + r)$ (2)

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\mathcal{E}$ и $r$. Возведем в квадрат уравнение (1) и приравняем его к уравнению (2):

$(4(2+r))^2 = 36(3+r)$

$16(2+r)^2 = 36(3+r)$

Разделим обе части на 4:

$4(2+r)^2 = 9(3+r)$

$4(4 + 4r + r^2) = 27 + 9r$

$16 + 16r + 4r^2 = 27 + 9r$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$4r^2 + (16-9)r + (16-27) = 0$

$4r^2 + 7r - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 49 + 176 = 225$

Корни уравнения:

$r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm 15}{8}$

Получаем два корня:

$r_1 = \frac{-7 + 15}{8} = \frac{8}{8} = 1$ Ом

$r_2 = \frac{-7 - 15}{8} = \frac{-22}{8} = -2.75$ Ом

Внутреннее сопротивление не может быть отрицательным, поэтому выбираем физически осмысленный корень $r = 1$ Ом.

4. Найдем ЭДС, подставив значение $r$ в уравнение (1):

$\mathcal{E} = 4(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$ В

5. Наконец, рассчитаем ток короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r} = \frac{12 \text{ В}}{1 \text{ Ом}} = 12$ А

Ответ: $12$ А.