Номер 917, страница 202 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

917. Источник тока замкнули сначала на резистор сопротивлением $R_1 = 4 \\text{ Ом}$, а затем — на резистор сопротивлением $R_2 = 9 \\text{ Ом}$. В обоих случаях мощность, выделившаяся в резисторах, оказалась одинаковой. Определите внутреннее сопротивление источника.

Дано:

$R_1 = 4$ Ом
$R_2 = 9$ Ом
$P_1 = P_2$

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Мощность $P$, которая выделяется на внешнем сопротивлении $R$, можно рассчитать по формуле $P = I^2 R$, где $I$ — это сила тока в цепи.

В свою очередь, сила тока для полной цепи определяется по закону Ома: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$, где $\mathcal{E}$ — ЭДС источника тока, а $r$ — его внутреннее сопротивление.

Если подставить выражение для силы тока в формулу мощности, получим:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Запишем это выражение для двух случаев, описанных в условии задачи:

Для первого резистора: $P_1 = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

Для второго резистора: $P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

По условию, мощности в обоих случаях равны ($P_1 = P_2$), следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений. Так как ЭДС источника $\mathcal{E}$ в обоих случаях одинакова, ее можно сократить:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Решим полученное уравнение относительно $r$. Так как все величины сопротивления положительны, можно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1+r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2+r}$

Преобразуем уравнение, используя правило пропорции:

$\sqrt{R_1}(R_2+r) = \sqrt{R_2}(R_1+r)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $r$:

$\sqrt{R_1}R_2 + r\sqrt{R_1} = \sqrt{R_2}R_1 + r\sqrt{R_2}$

$r\sqrt{R_1} - r\sqrt{R_2} = \sqrt{R_2}R_1 - \sqrt{R_1}R_2$

$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, то выражение $(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$ не равно нулю, и на него можно сократить обе части уравнения:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, чтобы найти внутреннее сопротивление:

$r = \sqrt{4 \text{ Ом} \cdot 9 \text{ Ом}} = \sqrt{36 \text{ Ом}^2} = 6 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 6 Ом.