Номер 920, страница 202 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

920. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 197, сопротивления резисторов $R_1 = 12 \text{ Ом}$ и $R_2 = 4 \text{ Ом}$. Определите внутреннее сопротивление источника тока, если мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, одинаковая как при разомкнутом, так и при замкнутом ключе $K$.

Рис. 197

Дано:

$R_1 = 12$ Ом

$R_2 = 4$ Ом

$P_1 = P_2$ (мощность на внешнем участке при разомкнутом и замкнутом ключе одинакова)

Найти:

$r$ - внутреннее сопротивление источника

Решение:

1. Рассмотрим случай, когда ключ $K$ разомкнут. В этом случае во внешней цепи только резистор $R_1$.

Внешнее сопротивление цепи равно $R_{вн1} = R_1$.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, определяется по формуле $P = I^2 R_{вн}$:

$P_1 = I_1^2 R_{вн1} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}\right)^2 R_1$

2. Рассмотрим случай, когда ключ $K$ замкнут. В этом случае резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно.

Найдем общее сопротивление внешнего участка цепи $R_{вн2}$:

$\frac{1}{R_{вн2}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

$R_{вн2} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Сила тока в полной цепи в этом случае равна:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{вн2} + r}$

Мощность, выделяемая на внешнем участке цепи:

$P_2 = I_2^2 R_{вн2} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{вн2} + r}\right)^2 R_{вн2}$

3. По условию задачи, мощности $P_1$ и $P_2$ равны:

$P_1 = P_2$

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}\right)^2 R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{вн2} + r}\right)^2 R_{вн2}$

Сократим ЭДС $\mathcal{E}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_{вн2}}{(R_{вн2} + r)^2}$

Преобразуем это выражение:

$R_1(R_{вн2} + r)^2 = R_{вн2}(R_1 + r)^2$

$R_1(R_{вн2}^2 + 2R_{вн2}r + r^2) = R_{вн2}(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1 R_{вн2}^2 + 2R_1 R_{вн2}r + R_1 r^2 = R_{вн2} R_1^2 + 2R_{вн2} R_1r + R_{вн2} r^2$

Сократим одинаковые члены $2R_1 R_{вн2}r$ в обеих частях:

$R_1 R_{вн2}^2 + R_1 r^2 = R_{вн2} R_1^2 + R_{вн2} r^2$

Сгруппируем слагаемые с $r^2$ в одной части, а остальные в другой:

$R_1 r^2 - R_{вн2} r^2 = R_{вн2} R_1^2 - R_1 R_{вн2}^2$

$r^2(R_1 - R_{вн2}) = R_1 R_{вн2}(R_1 - R_{вн2})$

Так как $R_1 \neq R_{вн2}$, можно сократить на $(R_1 - R_{вн2})$:

$r^2 = R_1 R_{вн2}$

Отсюда находим внутреннее сопротивление:

$r = \sqrt{R_1 R_{вн2}}$

4. Проведем вычисления.

Сначала найдем $R_{вн2}$:

$R_{вн2} = \frac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3$ Ом

Теперь найдем внутреннее сопротивление $r$:

$r = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$ Ом

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно 6 Ом.