Номер 926, страница 203 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

926. Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ замкнут на реостат. Определите зависимость полезной и полной мощностей тока в цепи от силы тока $I$ в цепи. Постройте графики этих зависимостей. При какой силе тока полезная мощность наибольшая?

Дано:

Источник тока с ЭДС $\mathscr{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.

Цепь замкнута на реостат с сопротивлением $R$.

Найти:

Зависимость полезной мощности $P_{полезн}$ и полной мощности $P_{полн}$ от силы тока $I$.

Графики этих зависимостей.

Силу тока $I$, при которой полезная мощность $P_{полезн}$ является наибольшей.

Решение:

Определите зависимость полезной и полной мощностей тока в цепи от силы тока I в цепи.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$ определяется выражением:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$

Полная мощность $P_{полн}$, развиваемая источником, равна работе сторонних сил в единицу времени. Она вычисляется как произведение ЭДС источника на силу тока в цепи:

$P_{полн} = \mathscr{E} \cdot I$

Эта зависимость является линейной функцией силы тока $I$.

Полезная мощность $P_{полезн}$ — это мощность, выделяемая на внешней нагрузке, то есть на реостате с сопротивлением $R$. Она рассчитывается по формуле:

$P_{полезн} = I^2 R$

Чтобы выразить полезную мощность как функцию только силы тока $I$, необходимо исключить из формулы сопротивление $R$. Выразим $R$ из закона Ома для полной цепи:

$R+r = \frac{\mathscr{E}}{I} \implies R = \frac{\mathscr{E}}{I} - r$

Теперь подставим полученное выражение для $R$ в формулу полезной мощности:

$P_{полезн} = I^2 \left(\frac{\mathscr{E}}{I} - r\right) = I\mathscr{E} - I^2r$

Таким образом, зависимость полезной мощности от силы тока является квадратичной.

Ответ: Зависимость полной мощности от силы тока: $P_{полн}(I) = \mathscr{E}I$. Зависимость полезной мощности от силы тока: $P_{полезн}(I) = \mathscr{E}I - rI^2$.

Постройте графики этих зависимостей.

Сила тока в цепи может изменяться от $0$ (при $R \to \infty$, цепь разомкнута) до максимального значения, называемого током короткого замыкания $I_{кз}$ (при $R=0$).

$I_{кз} = \frac{\mathscr{E}}{r}$

График зависимости полной мощности $P_{полн}(I) = \mathscr{E}I$ представляет собой отрезок прямой, проходящий через начало координат, с угловым коэффициентом, равным $\mathscr{E}$.

График зависимости полезной мощности $P_{полезн}(I) = \mathscr{E}I - rI^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $I^2$ отрицателен: $-r < 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $I=0$ и $I = \frac{\mathscr{E}}{r} = I_{кз}$.

Изобразим оба графика в одной системе координат $P(I)$:

На рисунке синяя линия представляет график полной мощности, а красная парабола — график полезной мощности.

Ответ: График полной мощности — это отрезок прямой, выходящий из начала координат. График полезной мощности — это дуга параболы, которая также выходит из начала координат, достигает максимального значения, а затем уменьшается до нуля при токе короткого замыкания.

При какой силе тока полезная мощность наибольшая?

Для нахождения максимального значения функции $P_{полезн}(I) = \mathscr{E}I - rI^2$ необходимо найти ее производную по переменной $I$ и приравнять к нулю.

$\frac{d P_{полезн}}{d I} = \frac{d}{d I}(\mathscr{E}I - rI^2) = \mathscr{E} - 2rI$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума:

$\mathscr{E} - 2rI = 0$

Отсюда находим значение силы тока, при котором полезная мощность достигает своего максимума:

$2rI = \mathscr{E} \implies I = \frac{\mathscr{E}}{2r}$

Это значение составляет половину от тока короткого замыкания: $I = \frac{1}{2}I_{кз}$. Данное условие выполняется, когда внешнее сопротивление $R$ равно внутреннему сопротивлению источника $r$.

Ответ: Полезная мощность наибольшая при силе тока $I = \frac{\mathscr{E}}{2r}$.