Номер 931, страница 204 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

931. При замыкании источника тока на резистор сопротивлением $R_1 = 2$ Ом в резисторе выделяется мощность $P_1 = 32$ Вт, а при замыкании на резистор сопротивлением $R_2 = 3$ Ом — мощность $P_2 = 27$ Вт. Определите наибольшую полезную мощность, которая может выделиться на внешнем участке цепи.

Дано:

$R_1 = 2$ Ом

$P_1 = 32$ Вт

$R_2 = 3$ Ом

$P_2 = 27$ Вт

Найти:

$P_{max}$

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи (полезная мощность), определяется по закону Джоуля-Ленца $P = I^2 R$. Сила тока в полной цепи с источником ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ находится по закону Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$.

Объединив эти формулы, получим выражение для полезной мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}$

Запишем это выражение для двух случаев, приведенных в условии задачи:

1. При подключении резистора $R_1$: $P_1 = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1 + r)^2}$

2. При подключении резистора $R_2$: $P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2 + r)^2}$

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\mathcal{E}$ и $r$. Выразим $\mathcal{E}^2$ из каждого уравнения:

$\mathcal{E}^2 = \frac{P_1 (R_1 + r)^2}{R_1}$

$\mathcal{E}^2 = \frac{P_2 (R_2 + r)^2}{R_2}$

Приравняем правые части этих выражений, чтобы найти внутреннее сопротивление $r$:

$\frac{P_1 (R_1 + r)^2}{R_1} = \frac{P_2 (R_2 + r)^2}{R_2}$

Подставим числовые значения из условия:

$\frac{32 \cdot (2 + r)^2}{2} = \frac{27 \cdot (3 + r)^2}{3}$

Упростим уравнение:

$16 (2 + r)^2 = 9 (3 + r)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как сопротивления не могут быть отрицательными, рассматриваем только положительные корни.

$\sqrt{16} (2 + r) = \sqrt{9} (3 + r)$

$4(2 + r) = 3(3 + r)$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение относительно $r$:

$8 + 4r = 9 + 3r$

$4r - 3r = 9 - 8$

$r = 1$ Ом

Теперь, зная внутреннее сопротивление, можем найти квадрат ЭДС источника $\mathcal{E}^2$ из любого из начальных уравнений. Воспользуемся первым:

$\mathcal{E}^2 = \frac{P_1 (R_1 + r)^2}{R_1} = \frac{32 \cdot (2 + 1)^2}{2} = \frac{32 \cdot 3^2}{2} = 16 \cdot 9 = 144$ В$^2$

Наибольшая полезная мощность ($P_{max}$) выделяется на внешнем участке цепи при условии, что сопротивление внешней нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, то есть $R = r$.

Формула для максимальной полезной мощности имеет вид:

$P_{max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$

Подставим найденные значения $\mathcal{E}^2$ и $r$:

$P_{max} = \frac{144}{4 \cdot 1} = \frac{144}{4} = 36$ Вт

Ответ: $P_{max} = 36$ Вт.