Номер 936, страница 205 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

936. Источник тока, ЭДС которого $\mathcal{E} = 2,0$ В, замкнут вольфрамовым проводником массой $m = 32$ г. Определите внутреннее сопротивление источника тока, если за время $\tau = 130$ с температура проводника увеличилась на $\Delta t = 65^\circ$С. Известно, что на нагревание проводника расходуется $\alpha = 60$ % выделяемой в проводнике тепловой энергии тока, причем в проводнике выделяется наибольшая с данным источником тока мощность.

Дано:

ЭДС источника тока $E = 2,0 \text{ В}$

Масса вольфрамового проводника $m = 32 \text{ г}$

Время $\tau = 130 \text{ с}$

Изменение температуры проводника $\Delta t = 65 \text{ °C}$

Доля энергии, идущая на нагрев, $\alpha = 60 \% $

Удельная теплоемкость вольфрама (справочное значение) $c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Перевод в систему СИ:

$m = 32 \text{ г} = 0,032 \text{ кг}$

$\alpha = 60\% = 0,6$

$\Delta t = 65 \text{ °C} = 65 \text{ К}$ (так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению в Кельвинах)

$c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Найти:

Внутреннее сопротивление источника тока $r$

Решение:

По условию задачи, в проводнике выделяется наибольшая с данным источником тока мощность. Это условие максимальной мощности во внешней цепи (теорема Якоби) выполняется, когда сопротивление внешней цепи $R$ (в данном случае, вольфрамового проводника) равно внутреннему сопротивлению источника тока $r$.

$R = r$

Мощность тока $P$, выделяемая во внешней цепи, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

Сила тока в полной цепи согласно закону Ома равна:

$I = \frac{E}{R+r}$

При условии $R=r$ выражение для силы тока примет вид:

$I = \frac{E}{r+r} = \frac{E}{2r}$

Следовательно, максимальная мощность, выделяемая на проводнике, равна:

$P_{max} = I^2 R = \left(\frac{E}{2r}\right)^2 r = \frac{E^2}{4r^2} r = \frac{E^2}{4r}$

Количество теплоты $Q_{выд}$, которое выделяется в проводнике за время $\tau$, связано с мощностью соотношением:

$Q_{выд} = P_{max} \cdot \tau = \frac{E^2 \tau}{4r}$

На нагревание проводника, согласно условию, расходуется только часть этой энергии, равная $\alpha \cdot Q_{выд}$. Количество теплоты, пошедшее на нагрев $Q_{нагр}$, равно:

$Q_{нагр} = \alpha \cdot Q_{выд} = \alpha \frac{E^2 \tau}{4r}$

С другой стороны, количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой $m$ на температуру $\Delta t$, вычисляется по формуле:

$Q_{нагр} = c m \Delta t$

где $c$ – удельная теплоемкость вольфрама. Приравняем правые части двух выражений для $Q_{нагр}$:

$c m \Delta t = \alpha \frac{E^2 \tau}{4r}$

Из этого уравнения выразим искомое внутреннее сопротивление $r$:

$r = \frac{\alpha E^2 \tau}{4 c m \Delta t}$

Подставим числовые значения:

$r = \frac{0,6 \cdot (2,0 \text{ В})^2 \cdot 130 \text{ с}}{4 \cdot 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,032 \text{ кг} \cdot 65 \text{ К}} = \frac{0,6 \cdot 4 \cdot 130}{4 \cdot 130 \cdot 0,032 \cdot 65} = \frac{0,6}{0,032 \cdot 65} = \frac{0,6}{2,08} \approx 0,288 \text{ Ом}$

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $r \approx 0,29 \text{ Ом}$.

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока равно $0,29 \text{ Ом}$.