Номер 935, страница 205 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

935. К аккумулятору с ЭДС $\mathcal{E}=1,6$ В и внутренним сопротивлением $r=0,10$ Ом подключен нихромовый проводник массой $m=30$ г. Определите изменение температуры проводника за время $\tau=138$ с, если потери энергии в окружающую среду составляют $\alpha=25$ %. Известно, что в проводнике выделяется наибольшая возможная с данным аккумулятором мощность тока.

Дано:

ЭДС аккумулятора, $\mathscr{E} = 1,6 \text{ В}$

Внутреннее сопротивление, $r = 0,10 \text{ Ом}$

Масса нихромового проводника, $m = 30 \text{ г}$

Время, $\tau = 138 \text{ с}$

Доля потерь энергии в окружающую среду, $\alpha = 25 \%$

Удельная теплоемкость нихрома (справочное значение), $c = 450 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

$m = 30 \text{ г} = 0,030 \text{ кг}$
$\alpha = 25 \% = 0,25$

Найти:

Изменение температуры проводника, $\Delta t$

Решение:

Мощность тока, которая выделяется во внешней цепи (на нихромовом проводнике), описывается выражением $P = I^2 R$, где $I$ - сила тока, а $R$ - сопротивление проводника.

Сила тока в цепи, согласно закону Ома для полной цепи, равна:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$

Следовательно, мощность во внешней цепи как функция от ее сопротивления $R$ имеет вид:

$P(R) = \left(\frac{\mathscr{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathscr{E}^2 R}{(R+r)^2}$

В задаче указано, что на проводнике выделяется наибольшая возможная мощность. Это условие выполняется, когда сопротивление внешней нагрузки $R$ равно внутреннему сопротивлению источника тока $r$:

$R = r$

Таким образом, сопротивление нихромового проводника $R = r = 0,10 \text{ Ом}$.

Максимальная мощность, которая может выделиться во внешней цепи, при этом условии составит:

$P_{max} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{(r+r)^2} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{(2r)^2} = \frac{\mathscr{E}^2}{4r}$

За время $\tau$ на проводнике выделится общее количество теплоты $Q_{общ}$:

$Q_{общ} = P_{max} \cdot \tau = \frac{\mathscr{E}^2 \tau}{4r}$

Часть этой энергии ($\alpha = 25\%$) теряется в окружающую среду. Следовательно, количество теплоты, которое идет непосредственно на нагрев проводника ($Q_{нагр}$), составляет $1 - \alpha = 75\%$ от общей выделившейся теплоты:

$Q_{нагр} = Q_{общ} \cdot (1 - \alpha) = \frac{\mathscr{E}^2 \tau (1 - \alpha)}{4r}$

С другой стороны, количество теплоты, идущее на нагрев, связано с изменением температуры проводника $\Delta t$ следующей формулой:

$Q_{нагр} = c m \Delta t$

где $c$ — удельная теплоемкость нихрома, а $m$ — его масса.

Приравнивая два выражения для $Q_{нагр}$, получаем уравнение:

$c m \Delta t = \frac{\mathscr{E}^2 \tau (1 - \alpha)}{4r}$

Из этого уравнения выразим искомое изменение температуры $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{\mathscr{E}^2 \tau (1 - \alpha)}{4 r c m}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta t = \frac{(1,6 \text{ В})^2 \cdot 138 \text{ с} \cdot (1 - 0,25)}{4 \cdot 0,10 \text{ Ом} \cdot 450 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,030 \text{ кг}}$

$\Delta t = \frac{2,56 \cdot 138 \cdot 0,75}{0,4 \cdot 450 \cdot 0,030} = \frac{264,96}{5,4} \approx 49,07 \text{ °C}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как большинство исходных данных ($\mathscr{E}$, $r$, $m$, $\alpha$) имеют такую точность.

$\Delta t \approx 49 \text{ °C}$

Ответ: изменение температуры проводника составит примерно $49 \text{ °C}$.