Номер 939, страница 205 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

939. К источнику тока, внутреннее сопротивление которого $r$, подключен реостат, сопротивление которого можно изменять от $R_{\text{min}} = 0$ до $R_{\text{max}} = 7r$. Постройте график зависимости коэффициента полезного действия источника тока от сопротивления реостата.

Дано:

Внутреннее сопротивление источника: $r$

Диапазон изменения сопротивления реостата: от $R_{min} = 0$ до $R_{max} = 7r$

Найти:

Построить график зависимости КПД источника тока $\eta$ от сопротивления реостата $R$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока $\eta$ определяется как отношение полезной мощности $P_{полезная}$, выделяемой на внешней нагрузке (реостате), к полной мощности $P_{полная}$, развиваемой источником.

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}}$

Полезная мощность, выделяемая на реостате с сопротивлением $R$, равна $P_{полезная} = I^2 R$, где $I$ — сила тока в цепи, определяемая по закону Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$ (здесь $\mathcal{E}$ — ЭДС источника).

Полная мощность, развиваемая источником, выделяется на всей цепи, состоящей из внешнего сопротивления $R$ и внутреннего сопротивления $r$: $P_{полная} = I^2 (R+r)$.

Подставив выражения для мощностей в формулу для КПД, получим:

$\eta = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Это и есть искомая функциональная зависимость КПД $\eta$ от сопротивления реостата $R$.

Для построения графика найдём значения КПД в нескольких характерных точках в заданном диапазоне изменения сопротивления $R$ от $0$ до $7r$.

1. При $R=0$ (минимальное сопротивление):

$\eta = \frac{0}{0+r} = 0$.

Начальная точка графика — (0; 0).

2. При $R=r$ (сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению):

$\eta = \frac{r}{r+r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Промежуточная точка графика — ($r$; 0.5).

3. При $R=7r$ (максимальное сопротивление):

$\eta = \frac{7r}{7r+r} = \frac{7r}{8r} = \frac{7}{8} = 0.875$.

Конечная точка графика — ($7r$; 0.875).

Исследуем характер роста функции. Первая производная функции $\eta(R)$ по $R$ равна:

$\frac{d\eta}{dR} = \frac{(R+r) - R}{(R+r)^2} = \frac{r}{(R+r)^2}$

Поскольку $r > 0$, производная всегда положительна, следовательно, функция $\eta(R)$ монотонно возрастает на всем рассматриваемом промежутке.

Вторая производная равна:

$\frac{d^2\eta}{dR^2} = -\frac{2r}{(R+r)^3}$

Поскольку $r > 0$, вторая производная всегда отрицательна, значит, график функции является вогнутым (или выпуклым вверх).

Таким образом, график зависимости $\eta(R)$ представляет собой плавно возрастающую вогнутую кривую, которая начинается в начале координат, проходит через точку ($r$; 0.5) и заканчивается в точке ($7r$; 0.875).

Ответ:

Зависимость коэффициента полезного действия источника тока $\eta$ от сопротивления реостата $R$ описывается формулой $\eta = \frac{R}{R+r}$. График этой зависимости в диапазоне от $R=0$ до $R=7r$ — это кривая, выходящая из начала координат (0; 0), монотонно возрастающая и вогнутая (выпуклая вверх). График заканчивается в точке с координатами ($R=7r$; $\eta=7/8=0.875$). При $R=r$ КПД равен 0.5.