Номер 928, страница 203 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

928. ЭДС источника тока $\mathcal{E}=8,0 \text{ В}$, его внутреннее сопротивление $r=2,0 \text{ Ом}$. Определите наибольшую полезную мощность, выделяющуюся в цепи.

Дано

ЭДС источника тока, $ \mathscr{E} = 8,0 \text{ В} $

Внутреннее сопротивление, $ r = 2,0 \text{ Ом} $

Найти:

Наибольшую полезную мощность, $ P_{\text{полезн max}} $

Решение

Полезная мощность $P_{\text{полезн}}$, выделяющаяся на внешнем сопротивлении $R$, определяется по формуле:

$ P_{\text{полезн}} = I^2 R $

где $I$ — сила тока в цепи.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$ I = \frac{\mathscr{E}}{R+r} $

Подставим выражение для силы тока в формулу для полезной мощности, чтобы выразить ее как функцию от внешнего сопротивления $R$:

$ P_{\text{полезн}}(R) = \left( \frac{\mathscr{E}}{R+r} \right)^2 R = \frac{\mathscr{E}^2 R}{(R+r)^2} $

Наибольшая полезная мощность выделяется в цепи при условии, что внешнее сопротивление $R$ равно внутреннему сопротивлению источника $r$. Это условие можно найти, взяв производную функции $P_{\text{полезн}}(R)$ по $R$ и приравняв ее к нулю. Таким образом, для получения максимальной мощности должно выполняться равенство:

$ R=r $

Подставим это условие в формулу для полезной мощности, чтобы найти ее максимальное значение:

$ P_{\text{полезн max}} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{(r+r)^2} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{(2r)^2} = \frac{\mathscr{E}^2 r}{4r^2} = \frac{\mathscr{E}^2}{4r} $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$ P_{\text{полезн max}} = \frac{(8,0 \text{ В})^2}{4 \cdot 2,0 \text{ Ом}} = \frac{64 \text{ В}^2}{8,0 \text{ Ом}} = 8,0 \text{ Вт} $

Ответ: наибольшая полезная мощность, выделяющаяся в цепи, равна 8,0 Вт.