Номер 922, страница 202 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

922. Два резистора сопротивлениями $R_1 = 2$ Ом и $R_2 = 8$ Ом поочередно подключают к одному и тому же источни-

ку тока. При этом на них выделяется одинаковая мощ-ность $P_{\text{полезн}} = 32$ Вт. Определите максимальную полез-ную мощность, которую может дать этот источник тока.

Дано:

$R_1 = 2$ Ом

$R_2 = 8$ Ом

$P_{\text{полезн}} = 32$ Вт

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$P_{\text{max}}$ - ?

Решение:

Полезная мощность $P_{\text{полезн}}$, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$, при подключении к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, определяется по формуле:

$P_{\text{полезн}} = I^2 R$

где $I$ - сила тока в цепи, которая по закону Ома для полной цепи равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставив выражение для силы тока в формулу мощности, получим:

$P_{\text{полезн}} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

По условию задачи, при поочередном подключении резисторов $R_1$ и $R_2$ к одному и тому же источнику тока, на них выделяется одинаковая мощность $P_{\text{полезн}}$. Запишем это условие в виде системы уравнений:

$P_{\text{полезн}} = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

$P_{\text{полезн}} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократим на $\mathcal{E}^2$ (ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем это уравнение для нахождения внутреннего сопротивления $r$:

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сокращаем одинаковые слагаемые $2R_1R_2r$:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_2R_1^2 - R_1R_2^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Так как $R_1 \neq R_2$, мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1 R_2$

Отсюда находим внутреннее сопротивление источника:

$r = \sqrt{R_1 R_2} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ Ом.

Теперь найдем квадрат ЭДС источника $\mathcal{E}^2$, используя данные для первого резистора:

$P_{\text{полезн}} = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

$\mathcal{E}^2 = \frac{P_{\text{полезн}}(R_1+r)^2}{R_1} = \frac{32 \cdot (2+4)^2}{2} = \frac{32 \cdot 6^2}{2} = 16 \cdot 36 = 576 \text{ В}^2$.

Максимальная полезная мощность $P_{\text{max}}$ выделяется во внешней цепи, когда ее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника, то есть $R = r$.

Формула для максимальной полезной мощности:

$P_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}^2 r}{(r+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 r}{(2r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 r}{4r^2} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$

Подставим найденные значения $\mathcal{E}^2$ и $r$:

$P_{\text{max}} = \frac{576}{4 \cdot 4} = \frac{576}{16} = 36$ Вт.

Ответ: 36 Вт.