Номер 919, страница 202 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

919. Два резистора сопротивлениями $R_1 = 1.6$ Ом и $R_2 = 3.6$ Ом поочередно подключают к одному и тому же источнику тока. При этом на них выделяется одинаковая мощность. Определите ток короткого замыкания для источника тока, если его ЭДС $\mathcal{E}=12$ В.

Дано:

$R_1 = 1,6$ Ом

$R_2 = 3,6$ Ом

$P_1 = P_2 = P$

$\mathscr{E} = 12$ В

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$I_{кз}$ - ?

Решение:

Сила тока в цепи, состоящей из источника тока с ЭДС $\mathscr{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, и внешнего резистора с сопротивлением $R$, определяется по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathscr{E}}{R+r}$

Мощность $P$, выделяющаяся на внешнем сопротивлении $R$, вычисляется по формуле:

$P = I^2 R$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:

$P = \left(\frac{\mathscr{E}}{R+r}\right)^2 R$

По условию задачи, при поочередном подключении резисторов $R_1$ и $R_2$ к источнику, на них выделяется одинаковая мощность. Запишем это в виде равенства:

$P_1 = P_2$

$\left(\frac{\mathscr{E}}{R_1+r}\right)^2 R_1 = \left(\frac{\mathscr{E}}{R_2+r}\right)^2 R_2$

Так как ЭДС источника $\mathscr{E}$ отлична от нуля, мы можем сократить $\mathscr{E}^2$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{\sqrt{R_1}}{R_1+r} = \frac{\sqrt{R_2}}{R_2+r}$

Воспользуемся свойством пропорции, чтобы избавиться от дробей:

$\sqrt{R_1}(R_2+r) = \sqrt{R_2}(R_1+r)$

Раскроем скобки:

$\sqrt{R_1}R_2 + r\sqrt{R_1} = \sqrt{R_2}R_1 + r\sqrt{R_2}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие неизвестное внутреннее сопротивление $r$:

$r\sqrt{R_1} - r\sqrt{R_2} = R_1\sqrt{R_2} - R_2\sqrt{R_1}$

$r(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) = \sqrt{R_1R_2}(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2})$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, то $(\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2}) \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на этот множитель, чтобы найти $r$:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения и рассчитаем внутреннее сопротивление источника:

$r = \sqrt{1,6 \text{ Ом} \cdot 3,6 \text{ Ом}} = \sqrt{5,76 \text{ Ом}^2} = 2,4$ Ом

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ возникает, когда внешнее сопротивление цепи равно нулю ($R=0$). Используя закон Ома для полной цепи, получаем:

$I_{кз} = \frac{\mathscr{E}}{r}$

Теперь вычислим искомый ток короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{12 \text{ В}}{2,4 \text{ Ом}} = 5$ А

Ответ: ток короткого замыкания для источника тока равен 5 А.