Номер 918, страница 202 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

918. Две проволочные спирали с сопротивлениями $R_1 = 1 \text{ Ом}$ и $R_2 = 4 \text{ Ом}$ поочередно подключали к источнику тока. При этом на них выделялась одинаковая мощность $P = 4 \text{ Вт}$. Определите ток короткого замыкания для данного источника.

Дано

$R_1 = 1 \text{ Ом}$
$R_2 = 4 \text{ Ом}$
$P = 4 \text{ Вт}$
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$I_{кз}$

Решение

Мощность $P$, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$, при подключении к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

где $I$ - сила тока в цепи. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставив выражение для силы тока в формулу мощности, получим:

$P = \left( \frac{\mathcal{E}}{R+r} \right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в задаче. Поскольку мощность в обоих случаях одинакова, можем приравнять выражения для мощности:

$P_1 = P_2 = P$

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Сократим на $\mathcal{E}^2$ (ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (все величины положительны):

$\sqrt{R_1}(R_2+r) = \sqrt{R_2}(R_1+r)$

$\sqrt{R_1}R_2 + r\sqrt{R_1} = \sqrt{R_2}R_1 + r\sqrt{R_2}$

Сгруппируем слагаемые с $r$:

$r(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) = \sqrt{R_1}R_2 - \sqrt{R_2}R_1$

$r(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) = \sqrt{R_1 R_2}(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1})$

Отсюда находим внутреннее сопротивление источника $r$:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{1 \text{ Ом} \cdot 4 \text{ Ом}} = \sqrt{4 \text{ Ом}^2} = 2 \text{ Ом}$

Теперь найдем ЭДС источника $\mathcal{E}$, используя данные для первой спирали:

$P = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

$\mathcal{E}^2 = \frac{P(R_1+r)^2}{R_1}$

$\mathcal{E} = \sqrt{\frac{P(R_1+r)^2}{R_1}} = (R_1+r)\sqrt{\frac{P}{R_1}}$

$\mathcal{E} = (1 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом})\sqrt{\frac{4 \text{ Вт}}{1 \text{ Ом}}} = 3 \text{ Ом} \cdot \sqrt{4 \text{ А}^2} = 3 \text{ Ом} \cdot 2 \text{ А} = 6 \text{ В}$

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ возникает, когда внешнее сопротивление равно нулю ($R=0$). По закону Ома для полной цепи:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Вычислим ток короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{6 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 3 \text{ А}$

Ответ: $3 \text{ А}$.