Номер 921, страница 202 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

921. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 198, сопротивления резисторов $R_1 = 40$ Ом, $R_2 = 55$ Ом, $R_3 = 65$ Ом и $R_4 = 50$ Ом. Определите внутреннее сопротивление источника тока, если мощность, потребляемая участком цепи $AB$, одинакова как при разомкнутом, так и при замкнутом ключе $K$.

Рис. 198

Дано:

$R_1 = 40$ Ом
$R_2 = 55$ Ом
$R_3 = 65$ Ом
$R_4 = 50$ Ом
Мощность на участке AB при разомкнутом ключе $P_1$ равна мощности на участке AB при замкнутом ключе $P_2$ ($P_{AB1} = P_{AB2}$).

Найти:

$r$ - ?

Решение:

1. Рассмотрим случай, когда ключ K разомкнут. В этом случае ток через резистор $R_1$ не идет. Участок AB состоит из последовательно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$.

Сопротивление участка AB в этом случае:

$R_{AB1} = R_2 + R_3 = 55 + 65 = 120$ Ом.

Полное внешнее сопротивление цепи:

$R_{внеш1} = R_{AB1} + R_4 = 120 + 50 = 170$ Ом.

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш1} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R_{AB1} + R_4 + r}$, где $\mathcal{E}$ - ЭДС источника.

Мощность, потребляемая участком AB:

$P_{AB1} = I_1^2 \cdot R_{AB1} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{AB1} + R_4 + r}\right)^2 \cdot R_{AB1}$.

2. Рассмотрим случай, когда ключ K замкнут. В этом случае на участке AB две параллельные ветви: одна с резистором $R_1$, другая с последовательно соединенными резисторами $R_2$ и $R_3$.

Сопротивление второй ветви: $R_{23} = R_2 + R_3 = 120$ Ом.

Сопротивление участка AB при параллельном соединении:

$R_{AB2} = \frac{R_1 \cdot R_{23}}{R_1 + R_{23}} = \frac{40 \cdot 120}{40 + 120} = \frac{4800}{160} = 30$ Ом.

Полное внешнее сопротивление цепи:

$R_{внеш2} = R_{AB2} + R_4 = 30 + 50 = 80$ Ом.

Сила тока в цепи:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R_{AB2} + R_4 + r}$.

Мощность, потребляемая участком AB:

$P_{AB2} = I_2^2 \cdot R_{AB2} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{AB2} + R_4 + r}\right)^2 \cdot R_{AB2}$.

3. По условию задачи, мощности на участке AB в обоих случаях равны: $P_{AB1} = P_{AB2}$.

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R_{AB1} + R_4 + r}\right)^2 \cdot R_{AB1} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{AB2} + R_4 + r}\right)^2 \cdot R_{AB2}$.

Сократим $\mathcal{E}^2$ и извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{\sqrt{R_{AB1}}}{R_{AB1} + R_4 + r} = \frac{\sqrt{R_{AB2}}}{R_{AB2} + R_4 + r}$.

Преобразуем уравнение:

$\sqrt{R_{AB1}}(R_{AB2} + R_4 + r) = \sqrt{R_{AB2}}(R_{AB1} + R_4 + r)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $r$:

$\sqrt{R_{AB1}} \cdot R_{AB2} + \sqrt{R_{AB1}} \cdot R_4 + \sqrt{R_{AB1}} \cdot r = \sqrt{R_{AB2}} \cdot R_{AB1} + \sqrt{R_{AB2}} \cdot R_4 + \sqrt{R_{AB2}} \cdot r$.

$r(\sqrt{R_{AB1}} - \sqrt{R_{AB2}}) = \sqrt{R_{AB2}} \cdot R_{AB1} - \sqrt{R_{AB1}} \cdot R_{AB2} + R_4(\sqrt{R_{AB2}} - \sqrt{R_{AB1}})$.

$r(\sqrt{R_{AB1}} - \sqrt{R_{AB2}}) = \sqrt{R_{AB1}R_{AB2}}(\sqrt{R_{AB1}} - \sqrt{R_{AB2}}) - R_4(\sqrt{R_{AB1}} - \sqrt{R_{AB2}})$.

Поскольку $R_{AB1} \neq R_{AB2}$, можно сократить на $(\sqrt{R_{AB1}} - \sqrt{R_{AB2}})$:

$r = \sqrt{R_{AB1} \cdot R_{AB2}} - R_4$.

4. Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{120 \cdot 30} - 50 = \sqrt{3600} - 50 = 60 - 50 = 10$ Ом.

Ответ: 10 Ом.