Номер 924, страница 203 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

924. К источнику тока с внутренним сопротивлением $r = 4,0 \text{ Ом}$ подключен резистор сопротивлением $R_1 = 6,0 \text{ Ом}$, в котором выделяется мощность $P_{\text{полезн}}$. Определите сопротивление другого резистора, который необходимо подключить параллельно к первому резистору, чтобы во внешней цепи вновь выделялась мощность $P_{\text{полезн}}$.

Дано:

$r = 4,0$ Ом

$R_1 = 6,0$ Ом

Найти:

$R_2$

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи (полезная мощность), определяется по формуле:

$P_{полезн} = I^2 R_{внешн}$

где $I$ — сила тока в цепи, а $R_{внешн}$ — сопротивление внешней цепи. Сила тока в полной цепи находится по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внешн} + r}$

где $\mathcal{E}$ — ЭДС источника тока, а $r$ — его внутреннее сопротивление. Подставив выражение для силы тока в формулу для мощности, получим зависимость полезной мощности от внешнего сопротивления:

$P_{полезн} = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_{внешн} + r}\right)^2 R_{внешн} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{внешн}}{(R_{внешн} + r)^2}$

1. Первый случай.

Когда к источнику подключен только резистор $R_1$, сопротивление внешней цепи $R_{внешн,1} = R_1$. Выделяемая мощность равна:

$P_{полезн} = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1 + r)^2}$

2. Второй случай.

Когда к первому резистору параллельно подключают второй резистор $R_2$, общее сопротивление внешней цепи $R_{внешн,2}$ становится равным:

$R_{внешн,2} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Выделяемая мощность в этом случае равна:

$P'_{полезн} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{внешн,2}}{(R_{внешн,2} + r)^2}$

По условию задачи мощности в обоих случаях одинаковы: $P_{полезн} = P'_{полезн}$.

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{внешн,2}}{(R_{внешн,2} + r)^2}$

Сократив на $\mathcal{E}^2$ (ЭДС источника), получим:

$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_{внешн,2}}{(R_{внешн,2} + r)^2}$

Это уравнение показывает, что одному и тому же значению полезной мощности (кроме максимальной) соответствуют два разных значения внешнего сопротивления. Можно показать, что эти два сопротивления ($R_{внешн,1}$ и $R_{внешн,2}$) связаны с внутренним сопротивлением источника $r$ простым соотношением:

$R_{внешн,1} \cdot R_{внешн,2} = r^2$

Так как в нашем случае $R_{внешн,1} = R_1$, то:

$R_1 \cdot R_{внешн,2} = r^2$

Отсюда можем найти общее сопротивление внешней цепи во втором случае:

$R_{внешн,2} = \frac{r^2}{R_1}$

Подставим числовые значения:

$R_{внешн,2} = \frac{(4,0 \text{ Ом})^2}{6,0 \text{ Ом}} = \frac{16,0}{6,0} \text{ Ом} = \frac{8}{3}$ Ом.

Теперь, зная общее сопротивление параллельно соединенных резисторов $R_{внешн,2}$, найдем сопротивление второго резистора $R_2$.

Из формулы $R_{внешн,2} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ выразим $R_2$:

$R_{внешн,2} (R_1 + R_2) = R_1 R_2$

$R_{внешн,2} R_1 + R_{внешн,2} R_2 = R_1 R_2$

$R_{внешн,2} R_1 = R_1 R_2 - R_{внешн,2} R_2$

$R_{внешн,2} R_1 = R_2 (R_1 - R_{внешн,2})$

$R_2 = \frac{R_{внешн,2} R_1}{R_1 - R_{внешн,2}}$

Подставим значения и вычислим $R_2$:

$R_2 = \frac{\frac{8}{3} \text{ Ом} \cdot 6,0 \text{ Ом}}{6,0 \text{ Ом} - \frac{8}{3} \text{ Ом}} = \frac{16 \text{ Ом}^2}{\frac{18 - 8}{3} \text{ Ом}} = \frac{16}{\frac{10}{3}} \text{ Ом} = \frac{16 \cdot 3}{10} \text{ Ом} = 4,8$ Ом.

Ответ: сопротивление другого резистора, который необходимо подключить, равно 4,8 Ом.