Номер 923, страница 203 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

923. Два резистора сопротивлениями $R_1 = 4,0$ Ом и $R_2 = 9,0$ Ом поочередно подключают к одному и тому же источнику тока. При этом на них выделяется одинаковая мощность $P_{\text{полезн}} = 5,76$ Вт. Определите ЭДС источника тока.

Дано:

$R_1 = 4,0 \, Ом$

$R_2 = 9,0 \, Ом$

$P_{\text{полезн}} = P_1 = P_2 = P = 5,76 \, Вт$

Найти:

$\mathcal{E}$ - ?

Решение:

Пусть источник тока имеет ЭДС, равную $\mathcal{E}$, и внутреннее сопротивление $r$.

Сила тока в цепи при подключении к источнику внешнего сопротивления $R$ определяется законом Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Мощность, которая выделяется на внешнем сопротивлении $R$ (полезная мощность), рассчитывается по формуле:

$P = I^2 R$

Подставив выражение для силы тока, получим:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи:

1. При подключении резистора $R_1$:

$P = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

2. При подключении резистора $R_2$:

$P = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Так как в обоих случаях выделяется одинаковая мощность $P$, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Поскольку ЭДС источника не равна нулю ($\mathcal{E} \neq 0$), можно сократить обе части на $\mathcal{E}^2$:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Решим это уравнение относительно внутреннего сопротивления $r$:

$R_1 (R_2+r)^2 = R_2 (R_1+r)^2$

$R_1 (R_2^2 + 2R_2 r + r^2) = R_2 (R_1^2 + 2R_1 r + r^2)$

$R_1 R_2^2 + 2R_1 R_2 r + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + 2R_1 R_2 r + R_2 r^2$

Слагаемое $2R_1 R_2 r$ присутствует в обеих частях и взаимно уничтожается:

$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$

Сгруппируем члены с $r^2$ и без него:

$R_1 r^2 - R_2 r^2 = R_2 R_1^2 - R_1 R_2^2$

$r^2 (R_1 - R_2) = R_1 R_2 (R_1 - R_2)$

Так как $R_1 \neq R_2$, мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1 R_2$

Отсюда находим внутреннее сопротивление:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{4,0 \, Ом \cdot 9,0 \, Ом} = \sqrt{36 \, Ом^2} = 6,0 \, Ом$

Теперь, зная внутреннее сопротивление $r$, мы можем найти ЭДС $\mathcal{E}$, используя формулу мощности для любого из двух случаев. Возьмем первый случай:

$P = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

Выразим из этой формулы $\mathcal{E}$:

$\mathcal{E}^2 = \frac{P(R_1+r)^2}{R_1}$

$\mathcal{E} = \sqrt{\frac{P(R_1+r)^2}{R_1}} = (R_1+r)\sqrt{\frac{P}{R_1}}$

Подставим известные значения:

$\mathcal{E} = (4,0 \, Ом + 6,0 \, Ом) \sqrt{\frac{5,76 \, Вт}{4,0 \, Ом}} = 10 \, Ом \cdot \sqrt{1,44 \, В^2/Ом^2} = 10 \, Ом \cdot 1,2 \, В/Ом = 12 \, В$

Ответ: ЭДС источника тока равна 12 В.