Номер 8, страница 215 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

8. На рисунке 192 представлен график зависимости модуля индукции однородного магнитного поля от времени. Определите максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в витке, если линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости витка и площадь поверхности, ограниченной витком, $S = 24 \text{ см}^2$.

Рис. 192

Дано:

$ S = 24 \, \text{см}^2 $
График зависимости $ B(t) $

Перевод в систему СИ:

$ S = 24 \, \text{см}^2 = 24 \cdot (10^{-2} \, \text{м})^2 = 24 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 $
Время на графике дано в миллисекундах: $ 1 \, \text{мс} = 10^{-3} \, \text{с} $

Найти:

$ \mathcal{E}_{i, \text{max}} $

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром: $ \mathcal{E}_{i} = \left| -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| $

Магнитный поток $ \Phi $ через плоский виток площадью $ S $ в однородном магнитном поле с индукцией $ B $ определяется формулой: $ \Phi = B S \cos\alpha $, где $ \alpha $ — угол между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и нормалью к плоскости витка.

По условию задачи, линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости витка, следовательно, угол $ \alpha = 0^\circ $, и $ \cos\alpha = 1 $. Тогда магнитный поток равен: $ \Phi = B S $

Поскольку площадь витка $ S $ не изменяется со временем, ЭДС индукции можно выразить как: $ \mathcal{E}_{i} = \left| -\frac{\Delta(B S)}{\Delta t} \right| = S \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $

Из формулы видно, что ЭДС индукции $ \mathcal{E}_{i} $ прямо пропорциональна модулю скорости изменения магнитной индукции $ \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| $. Следовательно, максимальное значение ЭДС индукции $ \mathcal{E}_{i, \text{max}} $ будет на том участке графика, где модуль скорости изменения индукции (то есть модуль тангенса угла наклона графика к оси времени) максимален.

График состоит из трех прямолинейных участков. Найдем модуль скорости изменения индукции для каждого из них.

1. Участок от $ t_1 = 0 $ до $ t_2 = 2.0 \, \text{мс} = 2.0 \cdot 10^{-3} \, \text{с} $:
$ B_1 = 0.40 \, \text{Тл} $, $ B_2 = 0.35 \, \text{Тл} $.
$ \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|_1 = \left| \frac{0.35 - 0.40}{2.0 \cdot 10^{-3} - 0} \right| = \left| \frac{-0.05}{2.0 \cdot 10^{-3}} \right| = 25 \, \text{Тл/с} $.

2. Участок от $ t_1 = 2.0 \, \text{мс} = 2.0 \cdot 10^{-3} \, \text{с} $ до $ t_2 = 6.0 \, \text{мс} = 6.0 \cdot 10^{-3} \, \text{с} $:
$ B_1 = 0.35 \, \text{Тл} $, $ B_2 = 0.05 \, \text{Тл} $.
$ \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|_2 = \left| \frac{0.05 - 0.35}{6.0 \cdot 10^{-3} - 2.0 \cdot 10^{-3}} \right| = \left| \frac{-0.30}{4.0 \cdot 10^{-3}} \right| = 75 \, \text{Тл/с} $.

3. Участок от $ t_1 = 6.0 \, \text{мс} = 6.0 \cdot 10^{-3} \, \text{с} $ до $ t_2 = 8.0 \, \text{мс} = 8.0 \cdot 10^{-3} \, \text{с} $:
$ B_1 = 0.05 \, \text{Тл} $, $ B_2 = 0.025 \, \text{Тл} $.
$ \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|_3 = \left| \frac{0.025 - 0.05}{8.0 \cdot 10^{-3} - 6.0 \cdot 10^{-3}} \right| = \left| \frac{-0.025}{2.0 \cdot 10^{-3}} \right| = 12.5 \, \text{Тл/с} $.

Сравнивая полученные значения, видим, что максимальная скорость изменения магнитной индукции наблюдается на втором участке: $ \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|_{\text{max}} = 75 \, \text{Тл/с} $.

Теперь можем рассчитать максимальное значение ЭДС индукции: $ \mathcal{E}_{i, \text{max}} = S \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|_{\text{max}} = 24 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot 75 \, \text{Тл/с} = 1800 \cdot 10^{-4} \, \text{В} = 0.18 \, \text{В} $.

Ответ: $ 0.18 \, \text{В} $.